Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem10 32161
Description: Lemma for cvmlift2 32165. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem10.1 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
cvmlift2lem10.2 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑐,𝑑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑢,𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑤,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑎 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 cvmlift2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
3 iitop 23171 . . . . . . 7 II ∈ Top
4 iiuni 23172 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 3, 4, 4txunii 21885 . . . . . 6 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
6 eqid 2794 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
75, 6cnf 21538 . . . . 5 (𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
119, 10opelxpd 5484 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
128, 11ffvelrnd 6720 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽)
13 cvmlift2lem10.s . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1413, 6cvmcov 32112 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽) → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
151, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
16 n0 4232 . . . . 5 ((𝑆𝑚) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
17 eleq1 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏)))
18 opelxp 5482 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏))
1917, 18syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏)))
2019anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → ((𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
21202rexbidv 3262 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
222adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2313cvmsrcl 32113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → 𝑚𝐽)
2423ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝑚𝐽)
25 cnima 21557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ∧ 𝑚𝐽) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
27 eltx 21860 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) → ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
283, 3, 27mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
2926, 28sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
3011adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
328adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
33 ffn 6385 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
34 elpreima 6696 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3630, 31, 35mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚))
3721, 29, 36rspcdva 3563 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
38 iillysconn 32102 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ Locally SConn
39 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑎 ∈ II)
40 simprll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑋𝑎)
41 llyi 21766 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑎 ∈ II ∧ 𝑋𝑎) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
4238, 39, 40, 41mp3an2i 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
43 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑏 ∈ II)
44 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑌𝑏)
45 llyi 21766 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑏 ∈ II ∧ 𝑌𝑏) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
4638, 43, 44, 45mp3an2i 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
47 reeanv 3327 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) ↔ (∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
48 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢))
50 simpr2 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣))
52 simprl1 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑢𝑎)
53 simprr1 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑣𝑏)
54 xpss12 5461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢𝑎𝑣𝑏) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
5552, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
56 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))
5755, 56sstrd 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
5857ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)))
5949, 51, 583jcad 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))))
60 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
61 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
6260, 61anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
6359, 62jca2 514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6463reximdv 3235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6564reximdv 3235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6647, 65syl5bir 244 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ((∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6742, 46, 66mp2and 695 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
6867ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) → (((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6968rexlimdvva 3256 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
7037, 69mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
71 simp3l1 1271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑋𝑢)
72 simp3l2 1272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑌𝑣)
73 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
74 simpl1l 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝜑)
7574, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7674, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
77 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃𝐵)
7874, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑃𝐵)
79 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
8074, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
81 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
82 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
83 df-ov 7022 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
84 simpl1r 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚)))
8584simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
8683, 85syl5eqel 2886 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑚)
8784simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
88 simpl2l 1219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑢 ∈ II)
89 simpl2r 1220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑣 ∈ II)
90 simp3rl 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
92 sconnpconn 32076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn → (II ↾t 𝑢) ∈ PConn)
93 pconnconn 32080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ PConn → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
95 simp3rr 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
97 sconnpconn 32076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ SConn → (II ↾t 𝑣) ∈ PConn)
98 pconnconn 32080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ PConn → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
10071adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑋𝑢)
10172adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑌𝑣)
102 simp3l3 1273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
104 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑤𝑣)
105 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))
106 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
10773, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 13, 86, 87, 88, 89, 94, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106cvmlift2lem9 32160 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))
108107rexlimdvaa 3247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))
10971, 72, 1083jca 1121 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
1101093expia 1114 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II)) → (((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
111110reximdvva 3239 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11270, 111mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
113112expr 457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
114113exlimdv 1912 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11516, 114syl5bi 243 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → ((𝑆𝑚) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
116115expimpd 454 . . 3 (𝜑 → (((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
117116rexlimdvw 3252 . 2 (𝜑 → (∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11815, 117mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1762  wcel 2080  wne 2983  wral 3104  wrex 3105  {crab 3108  cdif 3858  cin 3860  wss 3861  c0 4213  𝒫 cpw 4455  {csn 4474  cop 4480   cuni 4747  cmpt 5043   × cxp 5444  ccnv 5445  cres 5448  cima 5449  ccom 5450   Fn wfn 6223  wf 6224  cfv 6228  crio 6979  (class class class)co 7019  cmpo 7021  0cc0 10386  1c1 10387  [,]cicc 12591  t crest 16523  Topctop 21185   Cn ccn 21516  Conncconn 21703  Locally clly 21756   ×t ctx 21852  Homeochmeo 22045  IIcii 23166  PConncpconn 32068  SConncsconn 32069   CovMap ccvm 32104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-ec 8144  df-map 8261  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-cmp 21679  df-conn 21704  df-lly 21758  df-nlly 21759  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-ii 23168  df-htpy 23257  df-phtpy 23258  df-phtpc 23279  df-pconn 32070  df-sconn 32071  df-cvm 32105
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32163
  Copyright terms: Public domain W3C validator