Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem10 31742
Description: Lemma for cvmlift2 31746. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem10.1 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
cvmlift2lem10.2 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑐,𝑑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑢,𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑤,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑎 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 cvmlift2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
3 iitop 22962 . . . . . . 7 II ∈ Top
4 iiuni 22963 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 3, 4, 4txunii 21676 . . . . . 6 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
6 eqid 2765 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
75, 6cnf 21330 . . . . 5 (𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
119, 10opelxpd 5315 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
128, 11ffvelrnd 6550 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽)
13 cvmlift2lem10.s . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1413, 6cvmcov 31693 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽) → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
151, 12, 14syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
16 n0 4095 . . . . 5 ((𝑆𝑚) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
17 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏)))
18 opelxp 5313 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏))
1917, 18syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏)))
2019anbi1d 623 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → ((𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
21202rexbidv 3204 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
222adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2313cvmsrcl 31694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → 𝑚𝐽)
2423ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝑚𝐽)
25 cnima 21349 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ∧ 𝑚𝐽) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
2622, 24, 25syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
27 eltx 21651 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) → ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
283, 3, 27mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
2926, 28sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
3011adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
328adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
33 ffn 6223 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
34 elpreima 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3630, 31, 35mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚))
3721, 29, 36rspcdva 3467 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
38 iillysconn 31683 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ Locally SConn
39 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑎 ∈ II)
40 simprll 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑋𝑎)
41 llyi 21557 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑎 ∈ II ∧ 𝑋𝑎) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
4238, 39, 40, 41mp3an2i 1590 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
43 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑏 ∈ II)
44 simprlr 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑌𝑏)
45 llyi 21557 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑏 ∈ II ∧ 𝑌𝑏) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
4638, 43, 44, 45mp3an2i 1590 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
47 reeanv 3254 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) ↔ (∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
48 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢))
50 simpr2 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣))
52 simprl1 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑢𝑎)
53 simprr1 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑣𝑏)
54 xpss12 5292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢𝑎𝑣𝑏) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
5552, 53, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
56 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))
5755, 56sstrd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
5857ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)))
5949, 51, 583jcad 1159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))))
60 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
61 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
6260, 61anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
6359, 62jca2 509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6463reximdv 3162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6564reximdv 3162 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6647, 65syl5bir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ((∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6742, 46, 66mp2and 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
6867ex 401 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) → (((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6968rexlimdvva 3185 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
7037, 69mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
71 simp3l1 1377 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑋𝑢)
72 simp3l2 1378 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑌𝑣)
73 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
74 simpl1l 1293 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝜑)
7574, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7674, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
77 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃𝐵)
7874, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑃𝐵)
79 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
8074, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
81 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
82 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
83 df-ov 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
84 simpl1r 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚)))
8584simpld 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
8683, 85syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑚)
8784simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
88 simpl2l 1297 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑢 ∈ II)
89 simpl2r 1299 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑣 ∈ II)
90 simp3rl 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
92 sconnpconn 31657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn → (II ↾t 𝑢) ∈ PConn)
93 pconnconn 31661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ PConn → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
95 simp3rr 1328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
97 sconnpconn 31657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ SConn → (II ↾t 𝑣) ∈ PConn)
98 pconnconn 31661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ PConn → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
10071adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑋𝑢)
10172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑌𝑣)
102 simp3l3 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
104 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑤𝑣)
105 simprr 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))
106 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
10773, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 13, 86, 87, 88, 89, 94, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106cvmlift2lem9 31741 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))
108107rexlimdvaa 3179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))
10971, 72, 1083jca 1158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
1101093expia 1150 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II)) → (((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
111110reximdvva 3166 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11270, 111mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
113112expr 448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
114113exlimdv 2028 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11516, 114syl5bi 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → ((𝑆𝑚) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
116115expimpd 445 . . 3 (𝜑 → (((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
117116rexlimdvw 3181 . 2 (𝜑 → (∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11815, 117mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  cop 4340   cuni 4594  cmpt 4888   × cxp 5275  ccnv 5276  cres 5279  cima 5280  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  crio 6802  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  0cc0 10189  1c1 10190  [,]cicc 12380  t crest 16347  Topctop 20977   Cn ccn 21308  Conncconn 21494  Locally clly 21547   ×t ctx 21643  Homeochmeo 21836  IIcii 22957  PConncpconn 31649  SConncsconn 31650   CovMap ccvm 31685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-cmp 21470  df-conn 21495  df-lly 21549  df-nlly 21550  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959  df-htpy 23048  df-phtpy 23049  df-phtpc 23070  df-pconn 31651  df-sconn 31652  df-cvm 31686
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31744
  Copyright terms: Public domain W3C validator