MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptuni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ptuni 23320
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ptuni ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem ptuni
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} = {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
21ptbas 23305 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ TopBases)
3 unitg 22692 . . 3 ({π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))})
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))})
5 ptuni.1 . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
6 ffn 6718 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢Top β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
71ptval 23296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) β†’ (∏tβ€˜πΉ) = (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
86, 7sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) = (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
95, 8eqtrid 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
109unieqd 4923 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜{π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
111ptuni2 23302 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆͺ {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))})
124, 10, 113eqtr4rd 2781 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3946  βˆͺ cuni 4909   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Xcixp 8895  Fincfn 8943  topGenctg 17389  βˆtcpt 17390  Topctop 22617  TopBasesctb 22670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-ixp 8896  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-top 22618  df-bases 22671
This theorem is referenced by:  ptunimpt  23321  ptval2  23327  ptpjcn  23337  ptcld  23339  ptcn  23353  pthaus  23364  ptrescn  23365  ptuncnv  23533  ptunhmeo  23534  ptcmpfi  23539  ptcmplem1  23778  ptcmpg  23783  ptpconn  34520  ptrest  36792
  Copyright terms: Public domain W3C validator