Theorem unfid 44513

Description: The union of two finite sets is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
unfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
unfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unfid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		unfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3943  Fincfn 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is referenced by:  cnrefiisplem  45211