Theorem unfid 9194

Description: The union of two finite sets is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
unfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
unfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unfid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		unfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3929  Fincfn 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-en 8968  df-fin 8971

This theorem is referenced by:  constrfin  33726  constrllcllem  33732  constrlccllem  33733  constrcccllem  33734  cnrefiisplem  45801