Theorem unfid 44355

Description: The union of two finite sets is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
unfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
unfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unfid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		unfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-en 8937  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  cnrefiisplem  45055