Theorem constrllcllem 34051

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrllcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcllem.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcllem.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcllem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcllem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcllem.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcllem.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcllem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑅,𝑟   𝑇,𝑟,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem constrllcllem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7865	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↔ suc 𝑛 ∈ ω)
2	1	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
3	2	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
4		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
5	4	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑚 = suc 𝑛) → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
7		constrllcllem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
10		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))
12	9, 11	oveq12d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))))
13	12	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))))
14	10	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝐴)))
15	14	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
16	15	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
17	16	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
18	13, 17	3anbi13d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19	18	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
20	19	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
21		oveq1 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
22	21	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)) = (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))
23	22	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))))
24	23	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∗‘(𝑏 − 𝐴)) = (∗‘(𝐵 − 𝐴)))
26	25	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
27	26	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
28	27	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
29	24, 28	3anbi13d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
30	29	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
31	30	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → 𝑐 = 𝐺)
33		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐺))
34	33	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))
35	32, 34	oveq12d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))))
36	35	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))))
37	33	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)))
38	37	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))))
39	38	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
40	36, 39	3anbi23d 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
41	40	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
42	41	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
43		constrllcllem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
44	43	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ Constr)
45		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
46	45	unssad 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐶‘𝑛))
47	44, 46	prssad 32730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ (𝐶‘𝑛))
48		constrllcllem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
49	48	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ Constr)
50	49, 46	prssbd 32731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝐶‘𝑛))
51		constrllcllem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
52	51	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ Constr)
53	45	unssbd 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐺, 𝐷} ⊆ (𝐶‘𝑛))
54	52, 53	prssad 32730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ (𝐶‘𝑛))
55		oveq1 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 − 𝐺) = (𝐷 − 𝐺))
56	55	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)) = (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))
57	56	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))))
58	57	eqeq2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))))
59	55	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺)))
60	59	fveq2d 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))))
61	60	neeq1d 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
62	58, 61	3anbi23d 1462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
63		oveq1 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
64	63	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
65	64	eqeq2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
66	65	3anbi1d 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
67		oveq1 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))
68	67	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
69	68	eqeq2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))))
70	69	3anbi2d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
71		constrllcllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
72	71	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ Constr)
73	72, 53	prssbd 32731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑛))
74		constrllcllem.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	74	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑇 ∈ ℝ)
76		constrllcllem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		constrllcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
79	78	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
80		constrllcllem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
81	80	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
82		constrllcllem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
83	82	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
84	79, 81, 83	3jca 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
85	62, 66, 70, 73, 75, 77, 84	3rspcedvdw 3601	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
86	20, 31, 42, 47, 50, 54, 85	3rspcedvdw 3601	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
87	86	3mix1d 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
88		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
89		nnon 7854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
90	89	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
91		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
92	88, 90, 91	constrsuc 34037	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
93	8, 87, 92	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
94	3, 6, 93	rspcedvd 3585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
95	88	isconstr 34035	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Constr ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
96	94, 95	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ Constr)
97	43, 48	prssd 4782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ Constr)
98	51, 71	prssd 4782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ⊆ Constr)
99	97, 98	unssd 4146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ Constr)
100		prfi 9270	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
102		prfi 9270	. . . . 5 ⊢ {𝐺, 𝐷} ∈ Fin
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ∈ Fin)
104	101, 103	unfid 9142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ∈ Fin)
105	88, 99, 104	constrfiss 34050	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
106	96, 105	r19.29a 3172	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ w3o 1098   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088  {crab 3416  Vcvv 3456   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {cpr 4586   ↦ cmpt 5183  Oncon0 6348  suc csuc 6350  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ωcom 7848  reccrdg 8382  Fincfn 8929  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11416  ∗ccj 15125  ℑcim 15127  abscabs 15263  Constrcconstr 34028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-constr 34029

This theorem is referenced by:  constrllcl  34055