Theorem constrllcllem 33993

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrllcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcllem.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcllem.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcllem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcllem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcllem.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcllem.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcllem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑅,𝑟   𝑇,𝑟,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem constrllcllem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7848	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↔ suc 𝑛 ∈ ω)
2	1	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
3	2	ad2antlr 735	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
4		fveq2 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
5	4	eleq2d 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
6	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑚 = suc 𝑛) → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
7		constrllcllem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
10		oveq2 7389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))
12	9, 11	oveq12d 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))))
13	12	eqeq2d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))))
14	10	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝐴)))
15	14	oveq1d 7396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
16	15	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
17	16	neeq1d 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
18	13, 17	3anbi13d 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19	18	rexbidv 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
20	19	2rexbidv 3217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
21		oveq1 7388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
22	21	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)) = (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))
23	22	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))))
24	23	eqeq2d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∗‘(𝑏 − 𝐴)) = (∗‘(𝐵 − 𝐴)))
26	25	oveq1d 7396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
27	26	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
28	27	neeq1d 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
29	24, 28	3anbi13d 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
30	29	rexbidv 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
31	30	2rexbidv 3217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → 𝑐 = 𝐺)
33		oveq2 7389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐺))
34	33	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))
35	32, 34	oveq12d 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))))
36	35	eqeq2d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))))
37	33	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)))
38	37	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))))
39	38	neeq1d 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
40	36, 39	3anbi23d 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
41	40	rexbidv 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
42	41	2rexbidv 3217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
43		constrllcllem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
44	43	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ Constr)
45		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
46	45	unssad 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐶‘𝑛))
47	44, 46	prssad 32666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ (𝐶‘𝑛))
48		constrllcllem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
49	48	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ Constr)
50	49, 46	prssbd 32667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝐶‘𝑛))
51		constrllcllem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
52	51	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ Constr)
53	45	unssbd 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐺, 𝐷} ⊆ (𝐶‘𝑛))
54	52, 53	prssad 32666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ (𝐶‘𝑛))
55		oveq1 7388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 − 𝐺) = (𝐷 − 𝐺))
56	55	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)) = (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))
57	56	oveq2d 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))))
58	57	eqeq2d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))))
59	55	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺)))
60	59	fveq2d 6856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))))
61	60	neeq1d 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
62	58, 61	3anbi23d 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
63		oveq1 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
64	63	oveq2d 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
65	64	eqeq2d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
66	65	3anbi1d 1451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
67		oveq1 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))
68	67	oveq2d 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
69	68	eqeq2d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))))
70	69	3anbi2d 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
71		constrllcllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
72	71	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ Constr)
73	72, 53	prssbd 32667	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑛))
74		constrllcllem.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	74	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑇 ∈ ℝ)
76		constrllcllem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		constrllcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
79	78	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
80		constrllcllem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
81	80	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
82		constrllcllem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
83	82	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
84	79, 81, 83	3jca 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
85	62, 66, 70, 73, 75, 77, 84	3rspcedvdw 3590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
86	20, 31, 42, 47, 50, 54, 85	3rspcedvdw 3590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
87	86	3mix1d 1346	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
88		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
89		nnon 7837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
90	89	ad2antlr 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
91		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
92	88, 90, 91	constrsuc 33979	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
93	8, 87, 92	mpbir2and 721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
94	3, 6, 93	rspcedvd 3574	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
95	88	isconstr 33977	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Constr ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
96	94, 95	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ Constr)
97	43, 48	prssd 4770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ Constr)
98	51, 71	prssd 4770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ⊆ Constr)
99	97, 98	unssd 4135	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ Constr)
100		prfi 9253	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
102		prfi 9253	. . . . 5 ⊢ {𝐺, 𝐷} ∈ Fin
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ∈ Fin)
104	101, 103	unfid 9125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ∈ Fin)
105	88, 99, 104	constrfiss 33992	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
106	96, 105	r19.29a 3160	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1094   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∃wrex 3076  {crab 3404  Vcvv 3444   ∪ cun 3893   ⊆ wss 3895  {cpr 4574   ↦ cmpt 5171  Oncon0 6331  suc csuc 6333  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ωcom 7831  reccrdg 8364  Fincfn 8912  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   − cmin 11400  ∗ccj 15095  ℑcim 15097  abscabs 15233  Constrcconstr 33970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402  df-constr 33971

This theorem is referenced by:  constrllcl  33997