Theorem constrllcllem 33742

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrllcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcllem.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcllem.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcllem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcllem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcllem.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcllem.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcllem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑅,𝑟   𝑇,𝑟,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem constrllcllem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7859	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↔ suc 𝑛 ∈ ω)
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
3	2	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
4		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
5	4	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑚 = suc 𝑛) → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
7		constrllcllem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
10		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))
12	9, 11	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))))
13	12	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))))
14	10	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝐴)))
15	14	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
16	15	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
17	16	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
18	13, 17	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19	18	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
20	19	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
21		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
22	21	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)) = (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))
23	22	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))))
24	23	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∗‘(𝑏 − 𝐴)) = (∗‘(𝐵 − 𝐴)))
26	25	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
27	26	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
28	27	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
29	24, 28	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
31	30	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → 𝑐 = 𝐺)
33		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐺))
34	33	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))
35	32, 34	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))))
36	35	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))))
37	33	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)))
38	37	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))))
39	38	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
40	36, 39	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
41	40	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
42	41	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
43		constrllcllem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ Constr)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
46	45	unssad 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐶‘𝑛))
47	44, 46	prssad 32458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ (𝐶‘𝑛))
48		constrllcllem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ Constr)
50	49, 46	prssbd 32459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝐶‘𝑛))
51		constrllcllem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
52	51	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ Constr)
53	45	unssbd 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐺, 𝐷} ⊆ (𝐶‘𝑛))
54	52, 53	prssad 32458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ (𝐶‘𝑛))
55		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 − 𝐺) = (𝐷 − 𝐺))
56	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)) = (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))
57	56	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))))
58	57	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))))
59	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺)))
60	59	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))))
61	60	neeq1d 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
62	58, 61	3anbi23d 1441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
63		oveq1 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
64	63	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
65	64	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
66	65	3anbi1d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
67		oveq1 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))
68	67	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
69	68	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))))
70	69	3anbi2d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
71		constrllcllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ Constr)
73	72, 53	prssbd 32459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑛))
74		constrllcllem.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑇 ∈ ℝ)
76		constrllcllem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		constrllcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
79	78	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
80		constrllcllem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
81	80	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
82		constrllcllem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
84	79, 81, 83	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
85	62, 66, 70, 73, 75, 77, 84	3rspcedvdw 3606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
86	20, 31, 42, 47, 50, 54, 85	3rspcedvdw 3606	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
87	86	3mix1d 1337	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
88		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
89		nnon 7848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
90	89	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
91		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
92	88, 90, 91	constrsuc 33728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
93	8, 87, 92	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
94	3, 6, 93	rspcedvd 3590	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
95	88	isconstr 33726	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Constr ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
96	94, 95	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ Constr)
97	43, 48	prssd 4786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ Constr)
98	51, 71	prssd 4786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ⊆ Constr)
99	97, 98	unssd 4155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ Constr)
100		prfi 9274	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
102		prfi 9274	. . . . 5 ⊢ {𝐺, 𝐷} ∈ Fin
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ∈ Fin)
104	101, 103	unfid 9136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ∈ Fin)
105	88, 99, 104	constrfiss 33741	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
106	96, 105	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {cpr 4591   ↦ cmpt 5188  Oncon0 6332  suc csuc 6334  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  ∗ccj 15062  ℑcim 15064  abscabs 15200  Constrcconstr 33719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-constr 33720

This theorem is referenced by:  constrllcl  33746