Theorem constrllcllem 34249

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrllcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcllem.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcllem.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcllem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcllem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcllem.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcllem.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcllem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑅,𝑟   𝑇,𝑟,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟, 𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑅(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑇(𝑥, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑋(𝑥, 𝑠)

Proof of Theorem constrllcllem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7882	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↔ suc 𝑛 ∈ ω)
2	1	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
3	2	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
4		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
5	4	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑚 = suc 𝑛) → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
7		constrllcllem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
10		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))
12	9, 11	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))))
13	12	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))))
14	10	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝐴)))
15	14	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
16	15	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
17	16	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
18	13, 17	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19	18	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
20	19	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
21		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
22	21	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)) = (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))
23	22	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))))
24	23	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∗‘(𝑏 − 𝐴)) = (∗‘(𝐵 − 𝐴)))
26	25	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
27	26	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
28	27	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
29	24, 28	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
30	29	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
31	30	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
32		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → 𝑐 = 𝐺)
33		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐺))
34	33	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))
35	32, 34	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))))
36	35	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))))
37	33	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)))
38	37	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))))
39	38	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
40	36, 39	3anbi23d 1467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
41	40	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
42	41	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
43		constrllcllem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ Constr)
45		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
46	45	unssad 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐶‘𝑛))
47	44, 46	prssad 32990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ (𝐶‘𝑛))
48		constrllcllem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ Constr)
50	49, 46	prssbd 32991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝐶‘𝑛))
51		constrllcllem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ Constr)
53	45	unssbd 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐺, 𝐷} ⊆ (𝐶‘𝑛))
54	52, 53	prssad 32990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ (𝐶‘𝑛))
55		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 − 𝐺) = (𝐷 − 𝐺))
56	55	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)) = (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))
57	56	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))))
58	57	eqeq2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))))
59	55	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺)))
60	59	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))))
61	60	neeq1d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
62	58, 61	3anbi23d 1467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
63		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
64	63	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
65	64	eqeq2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
66	65	3anbi1d 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
67		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))
68	67	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
69	68	eqeq2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))))
70	69	3anbi2d 1469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
71		constrllcllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
72	71	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ Constr)
73	72, 53	prssbd 32991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑛))
74		constrllcllem.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	74	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑇 ∈ ℝ)
76		constrllcllem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		constrllcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
80		constrllcllem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
82		constrllcllem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
84	79, 81, 83	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
85	62, 66, 70, 73, 75, 77, 84	3rspcedvdw 3597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
86	20, 31, 42, 47, 50, 54, 85	3rspcedvdw 3597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
87	86	3mix1d 1355	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
88		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
89		nnon 7871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
90	89	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
91		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
92	88, 90, 91	constrsuc 34235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
93	8, 87, 92	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
94	3, 6, 93	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
95	88	isconstr 34233	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Constr ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
96	94, 95	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ Constr)
97	43, 48	prssd 4786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ Constr)
98	51, 71	prssd 4786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ⊆ Constr)
99	97, 98	unssd 4141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ Constr)
100		prfi 9296	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
102		prfi 9296	. . . . 5 ⊢ {𝐺, 𝐷} ∈ Fin
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ∈ Fin)
104	101, 103	unfid 9169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ∈ Fin)
105	88, 99, 104	constrfiss 34248	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
106	96, 105	r19.29a 3172	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ωcom 7865  reccrdg 8401  Fincfn 8955  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  ∗ccj 15185  ℑcim 15187  abscabs 15323  Constrcconstr 34226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-constr 34227

This theorem is used by:  constrllcl  34253