Theorem constrllcllem 33718

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrllcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcllem.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcllem.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcllem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcllem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcllem.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcllem.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcllem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑅,𝑟   𝑇,𝑟,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem constrllcllem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7823	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↔ suc 𝑛 ∈ ω)
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
3	2	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
4		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
5	4	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑚 = suc 𝑛) → (𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
7		constrllcllem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
10		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))
12	9, 11	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))))
13	12	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)))))
14	10	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝐴)))
15	14	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
16	15	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
17	16	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
18	13, 17	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19	18	rexbidv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
20	19	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
21		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
22	21	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑡 · (𝑏 − 𝐴)) = (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))
23	22	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))))
24	23	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∗‘(𝑏 − 𝐴)) = (∗‘(𝐵 − 𝐴)))
26	25	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)))
27	26	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))))
28	27	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
29	24, 28	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
30	29	rexbidv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
31	30	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝑏 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → 𝑐 = 𝐺)
33		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐺))
34	33	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))
35	32, 34	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))))
36	35	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)))))
37	33	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)))
38	37	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))))
39	38	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
40	36, 39	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
41	40	rexbidv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
42	41	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐺 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0)))
43		constrllcllem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ Constr)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
46	45	unssad 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐶‘𝑛))
47	44, 46	prssad 32491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ∈ (𝐶‘𝑛))
48		constrllcllem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ Constr)
50	49, 46	prssbd 32492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝐶‘𝑛))
51		constrllcllem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
52	51	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ Constr)
53	45	unssbd 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {𝐺, 𝐷} ⊆ (𝐶‘𝑛))
54	52, 53	prssad 32491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐺 ∈ (𝐶‘𝑛))
55		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 − 𝐺) = (𝐷 − 𝐺))
56	55	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑟 · (𝑑 − 𝐺)) = (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))
57	56	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))))
58	57	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)))))
59	55	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺)) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺)))
60	59	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))))
61	60	neeq1d 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
62	58, 61	3anbi23d 1441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
63		oveq1 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
64	63	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
65	64	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
66	65	3anbi1d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
67		oveq1 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝐷 − 𝐺)) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))
68	67	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
69	68	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ↔ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺)))))
70	69	3anbi2d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)))
71		constrllcllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ Constr)
73	72, 53	prssbd 32492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑛))
74		constrllcllem.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑇 ∈ ℝ)
76		constrllcllem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑅 ∈ ℝ)
78		constrllcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
79	78	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
80		constrllcllem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
81	80	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
82		constrllcllem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
84	79, 81, 83	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0))
85	62, 66, 70, 73, 75, 77, 84	3rspcedvdw 3597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝐴 + (𝑡 · (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑋 = (𝐺 + (𝑟 · (𝑑 − 𝐺))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝑑 − 𝐺))) ≠ 0))
86	20, 31, 42, 47, 50, 54, 85	3rspcedvdw 3597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
87	86	3mix1d 1337	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
88		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
89		nnon 7812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
90	89	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
91		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
92	88, 90, 91	constrsuc 33704	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
93	8, 87, 92	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
94	3, 6, 93	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
95	88	isconstr 33702	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Constr ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑚))
96	94, 95	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑋 ∈ Constr)
97	43, 48	prssd 4776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ Constr)
98	51, 71	prssd 4776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ⊆ Constr)
99	97, 98	unssd 4145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ Constr)
100		prfi 9232	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
102		prfi 9232	. . . . 5 ⊢ {𝐺, 𝐷} ∈ Fin
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐺, 𝐷} ∈ Fin)
104	101, 103	unfid 9096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ∈ Fin)
105	88, 99, 104	constrfiss 33717	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐺, 𝐷}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
106	96, 105	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {cpr 4581   ↦ cmpt 5176  Oncon0 6311  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ωcom 7806  reccrdg 8338  Fincfn 8879  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  ∗ccj 15021  ℑcim 15023  abscabs 15159  Constrcconstr 33695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-constr 33696

This theorem is referenced by:  constrllcl  33722