![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 287 of 481) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30606) |
![]() (30607-32129) |
![]() (32130-48006) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | colinearalglem3 28601* | Lemma for colinearalg 28603. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | colinearalglem4 28602* | Lemma for colinearalg 28603. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | colinearalg 28603* | An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 28598. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝐶, 𝐴〉 ∨ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝐵〉) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eleesub 28604* | Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eleesubd 28605* | Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 28604. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axdimuniq 28606 | The unique dimension axiom. If a point is in 𝑁 dimensional space and in 𝑀 dimensional space, then 𝑁 = 𝑀. This axiom is not traditionally presented with Tarski's axioms, but we require it here as we are considering spaces in arbitrary dimensions. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀))) → 𝑁 = 𝑀) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrrflx 28607 | 𝐴 is as far from 𝐵 as 𝐵 is from 𝐴. Axiom A1 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐵, 𝐴〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrtr 28608 | Congruence is transitive. Axiom A2 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉) → 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrid 28609 | If there is no distance between 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A3 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐶〉 → 𝐴 = 𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem1 28610* | Lemma for axsegcon 28620. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem2 28611* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the square of the distance between two points is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem3 28612* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the square of the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem4 28613* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the distance between two points is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem5 28614* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem6 28615* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the distance between two distinct points is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem7 28616* | Lemma for axsegcon 28620. Show that a particular ratio of distances is in the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) ∈ (0[,]1)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem8 28617* | Lemma for axsegcon 28620. Show that a particular mapping generates a point. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem9 28618* | Lemma for axsegcon 28620. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem10 28619* | Lemma for axsegcon 28620. Show that the scaling constant from axsegconlem7 28616 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegcon 28620* | Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 〈𝐵, 𝑥〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem1 28621* | Lemma for ax5seg 28631. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem2 28622* | Lemma for ax5seg 28631. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3a 28623 | Lemma for ax5seg 28631. (Contributed by Scott Fenton, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3 28624* | Lemma for ax5seg 28631. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem4 28625* | Lemma for ax5seg 28631. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem5 28626* | Lemma for ax5seg 28631. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem6 28627* | Lemma for ax5seg 28631. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → 𝑇 = 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem7 28628 | Lemma for ax5seg 28631. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℂ & ⊢ 𝑇 ∈ ℂ & ⊢ 𝐶 ∈ ℂ & ⊢ 𝐷 ∈ ℂ ⇒ ⊢ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem8 28629 | Lemma for ax5seg 28631. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 28628. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem9 28630* | Lemma for ax5seg 28631. Take the calculation in ax5seglem8 28629 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seg 28631 | The five segment axiom. Take two triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, a point 𝐵 on 𝐴𝐶, and a point 𝐹 on 𝐸𝐺. If all corresponding line segments except for 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻 are congruent, then so are 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉)) → 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axbtwnid 28632 | Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐵〉 → 𝐴 = 𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpaschlem 28633* | Lemma for axpasch 28634. Set up coefficents used in the proof. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑝 ∈ (0[,]1)(𝑝 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑇)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑝) · (1 − 𝑆)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑇) = ((1 − 𝑝) · 𝑆))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpasch 28634* | The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn 〈𝐷, 𝐵〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈𝐸, 𝐴〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem1 28635 | Lemma for axlowdim 28654. Establish a particular constant function as a function. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem2 28636 | Lemma for axlowdim 28654. Show that two sets are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem3 28637 | Lemma for axlowdim 28654. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem4 28638 | Lemma for axlowdim 28654. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ {〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉}:(1...2)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem5 28639 | Lemma for axlowdim 28654. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem6 28640 | Lemma for axlowdim 28654. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = ({〈1, 0〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐵 = ({〈1, 1〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐶 = ({〈1, 0〉, 〈2, 1〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝐶, 𝐴〉 ∨ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝐵〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem7 28641 | Lemma for axlowdim 28654. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem8 28642 | Lemma for axlowdim 28654. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑃‘3) = -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem9 28643 | Lemma for axlowdim 28654. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem10 28644 | Lemma for axlowdim 28654. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem11 28645 | Lemma for axlowdim 28654. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem12 28646 | Lemma for axlowdim 28654. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem13 28647 | Lemma for axlowdim 28654. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ≠ 𝑄) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem14 28648 | Lemma for axlowdim 28654. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28644. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝑅 = ({〈(𝐽 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem15 28649* | Lemma for axlowdim 28654. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ if(𝑖 = 1, ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})), ({〈(𝑖 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝑖 + 1)}) × {0})))) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem16 28650* | Lemma for axlowdim 28654. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem17 28651 | Lemma for axlowdim 28654. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝐴 = ({〈1, 𝑋〉, 〈2, 𝑌〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝑋 ∈ ℝ & ⊢ 𝑌 ∈ ℝ ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 〈𝑃, 𝐴〉Cgr〈𝑄, 𝐴〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim1 28652* | The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28653. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim2 28653* | The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim 28654* | The general lower dimension axiom. Take a dimension 𝑁 greater than or equal to three. Then, there are three non-colinear points in 𝑁 dimensional space that are equidistant from 𝑁 − 1 distinct points. Derived from remarks in Tarski's System of Geometry, Alfred Tarski and Steven Givant, Bulletin of Symbolic Logic, Volume 5, Number 2 (1999), 175-214. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑁 − 1))(〈(𝑝‘1), 𝑥〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑥〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑦〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑦〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑧〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑧〉) ∧ ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclidlem 28655* | Lemma for axeuclid 28656. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑃 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑄 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclid 28656* | Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑇〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑦〉 ∧ 𝑇 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem1 28657* | Lemma for axcont 28669. Change bound variables for later use. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ 𝐹 = {〈𝑦, 𝑠〉 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem2 28658* | Lemma for axcont 28669. The idea here is to set up a mapping 𝐹 that will allow to transfer dedekind 11373 to two sets of points. Here, we set up 𝐹 and show its domain and codomain. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem3 28659* | Lemma for axcont 28669. Given the separation assumption, 𝐵 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem4 28660* | Lemma for axcont 28669. Given the separation assumption, 𝐴 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem5 28661* | Lemma for axcont 28669. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem6 28662* | Lemma for axcont 28669. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem7 28663* | Lemma for axcont 28669. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem8 28664* | Lemma for axcont 28669. A point in 𝐷 is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem9 28665* | Lemma for axcont 28669. Given the separation assumption, all values of 𝐹 over 𝐴 are less than or equal to all values of 𝐹 over 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐵)𝑛 ≤ 𝑚) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem10 28666* | Lemma for axcont 28669. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem11 28667* | Lemma for axcont 28669. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 28666. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem12 28668* | Lemma for axcont 28669. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcont 28669* | The axiom of continuity. Take two sets of points 𝐴 and 𝐵. If all the points in 𝐴 come before the points of 𝐵 on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑎, 𝑦〉)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ceeng 28670 | Extends class notation with the Tarski geometry structure for 𝔼↑𝑁. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class EEG | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-eeng 28671* | Define the geometry structure for 𝔼↑𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ EEG = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑛)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑛) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengv 28672* | The value of the Euclidean geometry for dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengstr 28673 | The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct 〈1, ;17〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengbas 28674 | The Base of the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ebtwntg 28675 | The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ecgrtg 28676 | The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg 28677* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg2 28678* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. In contrast to elntg 28677, the betweenness can be strengthened by excluding 1 resp. 0 from the related intervals (because of 𝑥 ≠ 𝑦). (Contributed by AV, 14-Feb-2023.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (1...𝑁) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (∃𝑘 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑘) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑘 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑙 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑙) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑙 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑚 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑚) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑚 · (𝑝‘𝑖))))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkg 28679 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiG) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkge 28680 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiGE) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Basic concepts:
Basic kinds of graphs:
Terms and properties of graphs:
Special kinds of graphs:
For the terms "Path", "Walk", "Trail", "Circuit", "Cycle" see the remarks below and the definitions in Section I.1 in [Bollobas] p. 4-5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the following, the vertices and (indexed) edges for an arbitrary class 𝐺 (called "graph" in the following) are defined and examined. The main result of this section is to show that the set of vertices (Vtx‘𝐺) of a graph 𝐺 is the first component 𝑉 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opvtxfv 28699), or the base set (Base‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see basvtxval 28711), and that the set of indexed edges resp. the edge function (iEdg‘𝐺) is the second component 𝐸 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opiedgfv 28702), or the component (.ef‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see edgfiedgval 28712). Finally, it is shown that the set of edges of a graph 𝐺 is the range of its edge function: (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺), see edgval 28744. Usually, a graph 𝐺 is a set. If 𝐺 is a proper class, however, it represents the null graph (without vertices and edges), because (Vtx‘𝐺) = ∅ and (iEdg‘𝐺) = ∅ holds, see vtxvalprc 28740 and iedgvalprc 28741. Up to the end of this section, the edges need not be related to the vertices. Once undirected hypergraphs are defined (see df-uhgr 28753), the edges become nonempty sets of vertices, and by this obtain their meaning as "connectors" of vertices. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cedgf 28681 | Extend class notation with an edge function. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class .ef | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-edgf 28682 | Define the edge function (indexed edges) of a graph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) Use its index-independent form edgfid 28683 instead. (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfid 28683 | Utility theorem: index-independent form of df-edgf 28682. (Contributed by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndx 28684 | Index value of the df-edgf 28682 slot. (Contributed by AV, 13-Oct-2024.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (.ef‘ndx) = ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxnn 28685 | The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxid 28686 | The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxidOLD 28687 | Obsolete version of edgfndxid 28686 as of 28-Oct-2024. The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basendxltedgfndx 28688 | The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) < (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | baseltedgfOLD 28689 | Obsolete proof of basendxltedgfndx 28688 as of 30-Oct-2024. The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) < (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basendxnedgfndx 28690 | The slots Base and .ef are different. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The key concepts in graph theory are vertices and edges. In general, a graph "consists" (at least) of two sets: the set of vertices and the set of edges. The edges "connect" vertices. The meaning of "connect" is different for different kinds of graphs (directed/undirected graphs, hyper-/pseudo-/ multi-/simple graphs, etc.). The simplest way to represent a graph (of any kind) is to define a graph as "an ordered pair of disjoint sets (V, E)" (see section I.1 in [Bollobas] p. 1), or in the notation of Metamath: 〈𝑉, 𝐸〉. Another way is to regard a graph as a mathematical structure, which consistes at least of a set (of vertices) and a relation between the vertices (edge function), but which can be enhanced by additional features (see Wikipedia "Mathematical structure", 24-Sep-2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure): "In mathematics, a structure is a set endowed with some additional features on the set (e.g., operation, relation, metric, topology). Often, the additional features are attached or related to the set, so as to provide it with some additional meaning or significance.". Such structures are provided as "extensible structures" in Metamath, see df-struct 17078. To allow for expressing and proving most of the theorems for graphs independently from their representation, the functions Vtx and iEdg are defined (see df-vtx 28693 and df-iedg 28694), which provide the vertices resp. (indexed) edges of an arbitrary class 𝐺 which represents a graph: (Vtx‘𝐺) resp. (iEdg‘𝐺). In literature, these functions are often denoted also by "V" and "E", see section I.1 in [Bollobas] p. 1 ("If G is a graph, then V = V(G) is the vertex set of G, and E = E(G) is the edge set.") or section 1.1 in [Diestel] p. 2 ("The vertex set of graph G is referred to as V(G), its edge set as E(G)."). Instead of providing edges themselves, iEdg is intended to provide a function as mapping of "indices" (the domain of the function) to the edges (therefore called "set of indexed edges"), which allows for hyper-/pseudo-/multigraphs with more than one edge between two (or more) vertices. For example, e1 = e(1) = { a, b } and e2 = e(2) = { a, b } are two different edges connecting the same two vertices a and b (in a pseudograph). In section 1.10 of [Diestel] p. 28, the edge function is defined differently: as "map E -> V u. [V]^2 assigning to every edge either one or two vertices, its end.". Here, the domain is the set of abstract edges: for two different edges e1 and e2 connecting the same two vertices a and b, we would have e(e1) = e(e2) = { a, b }. Since the set of abstract edges can be chosen as index set, these definitions are equivalent. The result of these functions are as expected: for a graph represented as ordered pair (𝐺 ∈ (V × V)), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺) (see opvtxval 28698) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (2nd ‘𝐺) (see opiedgval 28701), or if 𝐺 is given as ordered pair 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉, the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see opvtxfv 28699) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see opiedgfv 28702). And for a graph represented as extensible structure (𝐺 Struct 〈(Base‘ndx), (.ef‘ndx)〉), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺) (see funvtxval 28713) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺) (see funiedgval 28714), or if 𝐺 is given in its simplest form as extensible structure with two slots (𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see struct2grvtx 28722) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see struct2griedg 28723). These two representations are convertible, see graop 28724 and grastruct 28725: If 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉), then 𝐻 = {〈(Base‘ndx), (Vtx‘𝐺)〉, 〈(.ef‘ndx), (iEdg‘𝐺)〉} represents essentially the same graph, and if 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), then 𝐻 = 〈(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)〉 represents essentially the same graph. In both cases, (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) and (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻) hold. Theorems gropd 28726 and gropeld 28728 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then the ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Analogously, theorems grstructd 28727 and grstructeld 28729 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then any extensible structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is also such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Besides the usual way to represent graphs without edges (consisting of unconnected vertices only), which would be 𝐺 = 〈𝑉, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}, a structure without a slot for edges can be used: 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉}, see snstrvtxval 28732 and snstriedgval 28733. Analogously, the empty set ∅ can be used to represent the null graph, see vtxval0 28734 and iedgval0 28735, which can also be represented by 𝐺 = 〈∅, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), ∅〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}. Even proper classes can be used to represent the null graph, see vtxvalprc 28740 and iedgvalprc 28741. Other classes should not be used to represent graphs, because there could be a degenerate behavior of the vertex set and (indexed) edge functions, see vtxvalsnop 28736 resp. iedgvalsnop 28737, and vtxval3sn 28738 resp. iedgval3sn 28739. Avoid directly depending on this detail so that theorems will not depend on the Kuratowski construction of ordered pairs, see also the comment for df-op 4627. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cvtx 28691 | Extend class notation with the vertices of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Vtx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ciedg 28692 | Extend class notation with the indexed edges of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class iEdg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-vtx 28693 | Define the function mapping a graph to the set of its vertices. This definition is very general: It defines the set of vertices for any ordered pair as its first component, and for any other class as its "base set". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure representing a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-iedg 28694 | Define the function mapping a graph to its indexed edges. This definition is very general: It defines the indexed edges for any ordered pair as its second component, and for any other class as its "edge function". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure (containing a slot for "edge functions") representing a graph. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxval 28695 | The set of vertices of a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgval 28696 | The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 1vgrex 28697 | A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxval 28698 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfv 28699 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxov 28700 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉Vtx𝐸) = 𝑉) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |