Theorem smflimsuplem3 46778

Description: The limit of the (𝐻‘𝑛) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem3.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑚,𝐹,𝑥   𝑘,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐻(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1912	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1912	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1912	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		smflimsuplem3.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		smflimsuplem3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (𝐻‘𝑛) ∈ V
7	6	dmex 7932	. . 3 ⊢ dom (𝐻‘𝑛) ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐻‘𝑛) ∈ V)
9		fvexd 6922	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑥) ∈ V)
10		smflimsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12		smflimsuplem3.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}))
14		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
15	5	eluzelz2 45353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	15, 16	uzn0d 45375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅)
18		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
19	18	dmex 7932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
20	19	rgenw 3063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
22	17, 21	iinexd 45073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
24	14, 23	rabexd 5346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
25	13, 24	fvmpt2d 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
26		fvres 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
27	26	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
29	28	dmeqd 5919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → dom (𝐹‘𝑚) = dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
30	29	iineq2dv 5022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
31	30	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)))
32	27	fveq1d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
33	32	mpteq2ia 5251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
34	33	rneqi 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
35	34	supeq1i 9485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
37	36	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
38	31, 37	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
39	38	rabbidva2 3435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
40	25, 39	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
41	40, 36	mpteq12dv 5239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
42		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))
43		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))
44	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
45		smflimsuplem3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
47	5	eleq2i 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	47	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 5	sseqtrrdi 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
53	46, 52	fssresd 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑛)⟶(SMblFn‘𝑆))
54		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
55		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
56	42, 43, 44, 16, 11, 53, 54, 55	smfsupxr 46772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
57	41, 56	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
58		smflimsuplem3.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
59	57, 58	fmptd 7134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
60	59	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
61		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐻‘𝑛) = dom (𝐻‘𝑛)
62	11, 60, 61	smff 46688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):dom (𝐻‘𝑛)⟶ℝ)
63	62	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))
64	63	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) = (𝐻‘𝑛))
65	64, 60	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
66		eqid 2735	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥))))
68	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 65, 66, 67	smflimmpt 46766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∪ ciun 4996  ∩ ciin 4997   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  supcsup 9478  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-salg 46265  df-salgen 46269  df-smblfn 46652

This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  46783