Theorem smflimsuplem3 45053

Description: The limit of the (𝐻‘𝑛) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem3.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑚,𝐹,𝑥   𝑘,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐻(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		smflimsuplem3.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		smflimsuplem3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		fvex 6855	. . . 4 ⊢ (𝐻‘𝑛) ∈ V
7	6	dmex 7848	. . 3 ⊢ dom (𝐻‘𝑛) ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐻‘𝑛) ∈ V)
9		fvexd 6857	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑥) ∈ V)
10		smflimsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12		smflimsuplem3.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}))
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
15	5	eluzelz2 43628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	15, 16	uzn0d 43650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅)
18		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
19	18	dmex 7848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
20	19	rgenw 3068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
22	17, 21	iinexd 43333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
24	14, 23	rabexd 5290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
25	13, 24	fvmpt2d 6961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
26		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
27	26	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
29	28	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → dom (𝐹‘𝑚) = dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
30	29	iineq2dv 4979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚))
31	30	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)))
32	27	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
33	32	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
34	33	rneqi 5892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
35	34	supeq1i 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
37	36	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
38	31, 37	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
39	38	rabbidva2 3409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
40	25, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
41	40, 36	mpteq12dv 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
42		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))
43		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))
44	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
45		smflimsuplem3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
47	5	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	47	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 5	sseqtrrdi 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
53	46, 52	fssresd 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑛)⟶(SMblFn‘𝑆))
54		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
55		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
56	42, 43, 44, 16, 11, 53, 54, 55	smfsupxr 45047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
57	41, 56	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
58		smflimsuplem3.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
59	57, 58	fmptd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
60	59	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
61		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐻‘𝑛) = dom (𝐻‘𝑛)
62	11, 60, 61	smff 44963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛):dom (𝐻‘𝑛)⟶ℝ)
63	62	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))
64	63	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) = (𝐻‘𝑛))
65	64, 60	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
66		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥))))
68	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 65, 66, 67	smflimmpt 45041	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 ∩ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐻‘𝑛) ∣ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∪ ciun 4954  ∩ ciin 4955   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  supcsup 9376  ℝcr 11050  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15366  SAlgcsalg 44539  SMblFncsmblfn 44926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-top 22243  df-bases 22296  df-salg 44540  df-salgen 44544  df-smblfn 44927

This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  45058