Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem3 45525
Description: The limit of the (𝐻𝑛) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem3.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem3.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑚,𝐹,𝑥   𝑘,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐻(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem3
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . 2 𝑛𝜑
2 nfv 1918 . 2 𝑥𝜑
3 nfv 1918 . 2 𝑘𝜑
4 smflimsuplem3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 smflimsuplem3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 fvex 6902 . . . 4 (𝐻𝑛) ∈ V
76dmex 7899 . . 3 dom (𝐻𝑛) ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) ∈ V)
9 fvexd 6904 . 2 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)‘𝑥) ∈ V)
10 smflimsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12 smflimsuplem3.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
155eluzelz2 44100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
1715, 16uzn0d 44122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
18 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑚) ∈ V
1918dmex 7899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝐹𝑚) ∈ V
2019rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2217, 21iinexd 43808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2414, 23rabexd 5333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
2513, 24fvmpt2d 7009 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
26 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
2726eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
2827adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
2928dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → dom (𝐹𝑚) = dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3029iineq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3130eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)))
3227fveq1d 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3332mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3433rneqi 5935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3534supeq1i 9439 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
3831, 37anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
3938rabbidva2 3435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4025, 39eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4140, 36mpteq12dv 5239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
42 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
43 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
4415adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
45 smflimsuplem3.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
475eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4847biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
49 uzss 12842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5150, 5sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5346, 52fssresd 6756 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑛)):(ℤ𝑛)⟶(SMblFn‘𝑆))
54 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
55 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
5642, 43, 44, 16, 11, 53, 54, 55smfsupxr 45519 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5741, 56eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
58 smflimsuplem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
5957, 58fmptd 7111 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
6059ffvelcdmda 7084 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
61 eqid 2733 . . . . . 6 dom (𝐻𝑛) = dom (𝐻𝑛)
6211, 60, 61smff 45435 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):dom (𝐻𝑛)⟶ℝ)
6362feqmptd 6958 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))
6463eqcomd 2739 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) = (𝐻𝑛))
6564, 60eqeltrd 2834 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
66 eqid 2733 . 2 {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67 eqid 2733 . 2 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥))))
681, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 65, 66, 67smflimmpt 45513 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3948   ciun 4997   ciin 4998  cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678  wf 6537  cfv 6541  supcsup 9432  cr 11106  *cxr 11244   < clt 11245  cz 12555  cuz 12819  cli 15425  SAlgcsalg 45011  SMblFncsmblfn 45398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-top 22388  df-bases 22441  df-salg 45012  df-salgen 45016  df-smblfn 45399
This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  45530
  Copyright terms: Public domain W3C validator