Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgtlem 44493
Description: For any positive real, the superior limit of F is larger than any of its values at large enough arguments, up to that positive real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgtlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupgtlem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupgtlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupgtlem.r (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
limsupgtlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgtlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupgtlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
2 limsupgtlem.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupgtlem.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3uzn0d 44135 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
5 rnresss 6018 . . . . . . . 8 ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ran 𝐹
65a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ran 𝐹)
7 limsupgtlem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
87frexr 44095 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
98frnd 6726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ*)
106, 9sstrd 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ℝ*)
1110supxrcld 43796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 limsupgtlem.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
14 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πΉ
1514, 2, 3, 7limsupreuz 44453 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)))
1613, 15mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1716simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
18 rexr 11260 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1918ad4antlr 732 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
207ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
213uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2221adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2320, 22ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2423rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
25243impa 1111 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2625ad5ant134 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2711ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2910ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ℝ*)
30 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3130eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
337ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
3522ssd 43769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
36 fnssres 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3734, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
4038, 39fnfvelrnd 7085 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
4132, 40eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )
4329, 41, 42supxrubd 43802 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
44433impa 1111 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4544ad5ant134 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4619, 26, 27, 28, 45xrletrd 13141 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4746rexlimdva2 3158 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
4847ralimdva 3168 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
4948reximdva 3169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
5017, 49mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
51 limsupgtlem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
5251rphalfcld 13028 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ+)
531, 4, 12, 50, 52infrpgernmpt 44175 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
54 simp3 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
552, 3, 8limsupvaluz 44424 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5655eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = (lim supβ€˜πΉ))
5756oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
58573ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
5954, 58breqtrd 5175 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
60243adantl3 1169 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
61 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
6261, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
633fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
657, 64fexd 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
6665limsupcld 44406 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6751rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6867rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
6968rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ*)
7066, 69xaddcld 13280 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) ∈ ℝ*)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) ∈ ℝ*)
72433adantl3 1169 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
73 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
7460, 62, 71, 72, 73xrletrd 13141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
7513, 68rexaddd 13213 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7661, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7774, 76breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7868ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
7913ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
8023, 78, 79lesubaddd 11811 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2))))
81803adantl3 1169 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2))))
8277, 81mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
8382ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
8459, 83syld3an3 1410 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
85843exp 1120 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))))
861, 85reximdai 3259 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
8753, 86mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
88 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
897ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9067adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9291adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9368adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
9489, 93resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ∈ ℝ)
9594adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ∈ ℝ)
9613ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
9751rphalfltd 44165 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) < 𝑋)
9897adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑋 / 2) < 𝑋)
9993, 90, 89, 98ltsub2dd 11827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)))
10099adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)))
101 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
10292, 95, 96, 100, 101ltletrd 11374 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
103102ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
10488, 22, 103syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
105104ralimdva 3168 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
106105reximdva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
10787, 106mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974   +𝑒 cxad 13090  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  limsupgt  44494
  Copyright terms: Public domain W3C validator