Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgtlem 44791
Description: For any positive real, the superior limit of F is larger than any of its values at large enough arguments, up to that positive real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgtlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupgtlem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupgtlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupgtlem.r (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
limsupgtlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgtlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupgtlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
2 limsupgtlem.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupgtlem.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3uzn0d 44433 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
5 rnresss 6016 . . . . . . . 8 ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ran 𝐹
65a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ran 𝐹)
7 limsupgtlem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
87frexr 44393 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
98frnd 6724 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ*)
106, 9sstrd 3991 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ℝ*)
1110supxrcld 44097 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1211adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 limsupgtlem.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
14 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πΉ
1514, 2, 3, 7limsupreuz 44751 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)))
1613, 15mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1716simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
18 rexr 11264 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1918ad4antlr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
207ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
213uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2221adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2320, 22ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2423rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
25243impa 1108 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2625ad5ant134 1365 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2711ad4antr 728 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2910ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† ℝ*)
30 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3130eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
337ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
3522ssd 44070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
36 fnssres 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3734, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘—))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
4038, 39fnfvelrnd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
4132, 40eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
42 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )
4329, 41, 42supxrubd 44103 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
44433impa 1108 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4544ad5ant134 1365 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4619, 26, 27, 28, 45xrletrd 13145 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
4746rexlimdva2 3155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
4847ralimdva 3165 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
4948reximdva 3166 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )))
5017, 49mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
51 limsupgtlem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
5251rphalfcld 13032 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ+)
531, 4, 12, 50, 52infrpgernmpt 44473 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
54 simp3 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
552, 3, 8limsupvaluz 44722 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5655eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = (lim supβ€˜πΉ))
5756oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
58573ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
5954, 58breqtrd 5173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
60243adantl3 1166 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
61 simpl1 1189 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
6261, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
633fvexi 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
657, 64fexd 7230 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
6665limsupcld 44704 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6751rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6867rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
6968rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ*)
7066, 69xaddcld 13284 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) ∈ ℝ*)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) ∈ ℝ*)
72433adantl3 1166 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ))
73 simpl3 1191 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
7460, 62, 71, 72, 73xrletrd 13145 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)))
7513, 68rexaddd 13217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7661, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2)) = ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7774, 76breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2)))
7868ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
7913ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
8023, 78, 79lesubaddd 11815 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2))))
81803adantl3 1166 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) + (𝑋 / 2))))
8277, 81mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
8382ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ ((lim supβ€˜πΉ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
8459, 83syld3an3 1407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
85843exp 1117 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))))
861, 85reximdai 3256 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < ) ≀ (inf(ran (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) +𝑒 (𝑋 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)))
8753, 86mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
88 simpll 763 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
897ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9067adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9291adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
9368adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑋 / 2) ∈ ℝ)
9489, 93resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ∈ ℝ)
9594adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ∈ ℝ)
9613ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
9751rphalfltd 44463 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 / 2) < 𝑋)
9897adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑋 / 2) < 𝑋)
9993, 90, 89, 98ltsub2dd 11831 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)))
10099adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)))
101 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
10292, 95, 96, 100, 101ltletrd 11378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
103102ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
10488, 22, 103syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
105104ralimdva 3165 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
106105reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝑋 / 2)) ≀ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
10787, 106mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978   +𝑒 cxad 13094  lim supclsp 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-limsup 15419
This theorem is referenced by:  limsupgt  44792
  Copyright terms: Public domain W3C validator