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Theorem smfinflem 45612
Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinflem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfinflem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfinflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfinflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfinflem.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)}
smfinflem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinflem (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinflem
Dummy variables π‘š 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfinflem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
3 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
4 smfinflem.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 smfinflem.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
64, 5uzn0d 44214 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
8 smfinflem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
10 smfinflem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1110ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
139, 11, 12smff 45527 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
1413adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
15 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
16 smfinflem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)}
1716eleq2i 2825 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
1817biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
1915, 18sselid 3980 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
21 simpr 485 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
22 eliinid 43882 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2423adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2514, 24ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
26 rabidim2 43873 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2718, 26syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2827adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
293, 7, 25, 28infnsuprnmpt 44033 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
3029mpteq2dva 5248 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
312, 30eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
32 nfv 1917 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
33 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
3433dmex 7904 . . . . . . 7 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
3534rgenw 3065 . . . . . 6 βˆ€π‘› ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
3635a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
376, 36iinexd 43904 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
3816, 37rabexd 5333 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
3925renegcld 11643 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
40 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
4140breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
4241ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
4342rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
44 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘€βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑍
46 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
4746nfdm 5950 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘š)
4845, 47nfiin 5028 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š)
49 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘€βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)
50 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)
51 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘›)
52 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛(πΉβ€˜π‘š)
5352nfdm 5950 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑛dom (πΉβ€˜π‘š)
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
5554dmeqd 5905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘š))
5651, 53, 55cbviin 5040 . . . . . . . . . . . 12 ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š))
58 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
5958breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
6059ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
61 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)
62 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛𝑦
63 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛 ≀
64 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛𝑀
6552, 64nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)
6662, 63, 65nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑛 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)
6754fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
6867breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ↔ 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
6961, 66, 68cbvralw 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7160, 70bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7271rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
73 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7473ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7574cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7772, 76bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
7844, 48, 49, 50, 57, 77cbvrabcsfw 3937 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)}
7916, 78eqtri 2760 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)}
8043, 79elrab2 3686 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
8180biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
8281simprd 496 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
8382adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
84 renegcl 11525 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ β†’ -𝑧 ∈ ℝ)
8584ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) β†’ -𝑧 ∈ ℝ)
86 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
8786fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
8887breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ↔ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
8988rspcva 3610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) β†’ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
9089ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
9190adantll 712 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
92 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
9325ad4ant14 750 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9492, 93lenegd 11795 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑧))
9591, 94mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑧)
9695ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑧)
97 brralrspcev 5208 . . . . . . 7 ((-𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
9885, 96, 97syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
9998rexlimdva2 3157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
10083, 99mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
1013, 7, 39, 100suprclrnmpt 44034 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
10216a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
103 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
104 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧
105 renegcl 11525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
1061053ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
107 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘›πœ‘
108 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑛π‘₯
109 nfii1 5032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
110108, 109nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
111107, 110nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
11262nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ℝ
113 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)
114111, 112, 113nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
115 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
116 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
11822adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
119133adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
120 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
121119, 120ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
122116, 117, 118, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1231223ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
124 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1251243ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
126 leneg 11719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦))
127126biimp3a 1469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦)
128115, 123, 125, 127syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦)
129128ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦))
130114, 129ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦)
131 brralrspcev 5208 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ -𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
132106, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
1331323exp 1119 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
134103, 104, 133rexlimd 3263 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧))
135843ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ -𝑧 ∈ ℝ)
136 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛 𝑧 ∈ ℝ
137 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧
138111, 136, 137nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
1391223ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
140 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
141 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
1421413ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
143 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧)
144 renegcl 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
146 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
147 leneg 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (-((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 ↔ -𝑧 ≀ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
148145, 146, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (-((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 ↔ -𝑧 ≀ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
1491483adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ (-((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 ↔ -𝑧 ≀ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
150143, 149mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ -𝑧 ≀ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
151 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152151negnegd 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1531523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ --((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
154150, 153breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
155139, 140, 142, 154syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
156155ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
157138, 156ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
158 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑧 β†’ (𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
159158ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = -𝑧 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
160159rspcev 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝑧 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
161135, 157, 160syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1621613exp 1119 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
163162rexlimdv 3153 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
164134, 163impbid 211 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧))
16532, 164rabbida 3458 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧})
166102, 165eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧})
16732, 166alrimi 2206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧})
168 eqid 2732 . . . . . . 7 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )
169168rgenw 3065 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )
170169a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
171 mpteq12f 5236 . . . . 5 ((βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
172167, 170, 171syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
173 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘§πœ‘
174121renegcld 11643 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
175 nfv 1917 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
17634a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
1771213expa 1118 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
17813feqmptd 6960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
179178eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘›))
180179, 11eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
181175, 9, 176, 177, 180smfneg 45598 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
182 eqid 2732 . . . . 5 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧}
183 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
184107, 32, 173, 4, 5, 8, 174, 181, 182, 183smfsupmpt 45610 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑧} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
185172, 184eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18632, 8, 38, 101, 185smfneg 45598 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18731, 186eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111   < clt 11250   ≀ cle 11251  -cneg 11447  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  SAlgcsalg 45103  SMblFncsmblfn 45490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-bases 22456  df-salg 45104  df-salgen 45108  df-smblfn 45491
This theorem is referenced by:  smfinf  45613
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