Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoiccdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoiccdif 45477
Description: Left-closed right-open interval gotten by a closed iterval taking away the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icoiccdif ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem icoiccdif
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icossicc 13473 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32sselda 3995 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 elico1 13427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
54biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
65simp1d 1141 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
9 xrltne 13202 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐵) → 𝐵𝑥)
106, 7, 8, 9syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵𝑥)
1110necomd 2994 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
1211neneqd 2943 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
13 velsn 4647 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
1412, 13sylnibr 329 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
153, 14eldifd 3974 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
1615ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})))
1716ssrdv 4001 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
18 simpll 767 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 simplr 769 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 eldifi 4141 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21 eliccxr 13472 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2322adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2420adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25 elicc1 13428 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2625adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2724, 26mpbid 232 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵))
2827simp2d 1142 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴𝑥)
29 eldifsni 4795 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐵)
3029necomd 2994 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝐵𝑥)
3130adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵𝑥)
3227simp3d 1143 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥𝐵)
33 xrleltne 13184 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3423, 19, 32, 33syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3531, 34mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 < 𝐵)
3618, 19, 23, 28, 35elicod 13434 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3717, 36eqelssd 4017 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,)cico 13386  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-icc 13391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator