Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoiccdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoiccdif 41676
Description: Left-closed right-open interval gotten by a closed iterval taking away the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icoiccdif ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem icoiccdif
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icossicc 12812 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32sselda 3964 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 elico1 12769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
54biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
65simp1d 1134 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85simp3d 1136 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
9 xrltne 12544 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐵) → 𝐵𝑥)
106, 7, 8, 9syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵𝑥)
1110necomd 3068 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
1211neneqd 3018 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
13 velsn 4573 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
1412, 13sylnibr 330 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
153, 14eldifd 3944 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
1615ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})))
1716ssrdv 3970 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
18 simpll 763 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 simplr 765 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 eldifi 4100 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2322adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2420adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25 elicc1 12770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2625adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2724, 26mpbid 233 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵))
2827simp2d 1135 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴𝑥)
29 eldifsni 4714 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐵)
3029necomd 3068 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝐵𝑥)
3130adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵𝑥)
3227simp3d 1136 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥𝐵)
33 xrleltne 12526 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3423, 19, 32, 33syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3531, 34mpbird 258 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 < 𝐵)
3618, 19, 23, 28, 35elicod 12775 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3717, 36eqelssd 3985 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-icc 12733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator