Theorem icoiccdif 40544

Description: Left-closed right-open interval gotten by a closed iterval taking away the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icoiccdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem icoiccdif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossicc 12556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3	2	sselda 3827	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		elico1 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
5	4	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
6	5	simp1d 1176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7		simplr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	5	simp3d 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
9		xrltne 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝑥)
11	10	necomd 3054	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
12	11	neneqd 3004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
13		velsn 4415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
14	12, 13	sylnibr 321	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
15	3, 14	eldifd 3809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
16	15	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})))
17	16	ssrdv 3833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
18		simpll 783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		simplr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		eldifi 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		eliccxr 12555	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 475	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24	20	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25		elicc1 12514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
26	25	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
28	27	simp2d 1177	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ≤ 𝑥)
29		eldifsni 4542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ≠ 𝐵)
30	29	necomd 3054	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝐵 ≠ 𝑥)
31	30	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ≠ 𝑥)
32	27	simp3d 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ≤ 𝐵)
33		xrleltne 12271	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
34	23, 19, 32, 33	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
35	31, 34	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 < 𝐵)
36	18, 19, 23, 28, 35	elicod 12519	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	17, 36	eqelssd 3847	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4399   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  [,)cico 12472  [,]cicc 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-ico 12476  df-icc 12477

This theorem is referenced by: (None)