Theorem icoiccdif 43062

Description: Left-closed right-open interval gotten by a closed iterval taking away the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icoiccdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem icoiccdif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossicc 13168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3	2	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		elico1 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
5	4	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
6	5	simp1d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	5	simp3d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
9		xrltne 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝑥)
11	10	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
12	11	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
13		velsn 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
14	12, 13	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
15	3, 14	eldifd 3898	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
16	15	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})))
17	16	ssrdv 3927	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
18		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		eliccxr 13167	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25		elicc1 13123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
28	27	simp2d 1142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ≤ 𝑥)
29		eldifsni 4723	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ≠ 𝐵)
30	29	necomd 2999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝐵 ≠ 𝑥)
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ≠ 𝑥)
32	27	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ≤ 𝐵)
33		xrleltne 12879	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
34	23, 19, 32, 33	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
35	31, 34	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 < 𝐵)
36	18, 19, 23, 28, 35	elicod 13129	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	17, 36	eqelssd 3942	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085  df-icc 13086

This theorem is referenced by: (None)