Theorem nmopgt0 30410

Description: A linear Hilbert space operator that is not identically zero has a positive norm. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopgt0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))

Proof of Theorem nmopgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopxr 30364	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
2		nmopge0 30409	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
3		0xr 11102	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrleltne 12959	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) → (0 < (normop‘𝑇) ↔ (normop‘𝑇) ≠ 0))
5	3, 4	mp3an1 1447	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) → (0 < (normop‘𝑇) ↔ (normop‘𝑇) ≠ 0))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (0 < (normop‘𝑇) ↔ (normop‘𝑇) ≠ 0))
7	6	bicomd 222	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   class class class wbr 5087  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  0cc0 10951  ℝ^*cxr 11088   < clt 11089   ≤ cle 11090   ℋchba 29417  norm_opcnop 29443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-hilex 29497  ax-hfvadd 29498  ax-hvcom 29499  ax-hvass 29500  ax-hv0cl 29501  ax-hvaddid 29502  ax-hfvmul 29503  ax-hvmulid 29504  ax-hvmulass 29505  ax-hvdistr1 29506  ax-hvdistr2 29507  ax-hvmul0 29508  ax-hfi 29577  ax-his1 29580  ax-his2 29581  ax-his3 29582  ax-his4 29583

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-sup 9278  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-grpo 28991  df-gid 28992  df-ablo 29043  df-vc 29057  df-nv 29090  df-va 29093  df-ba 29094  df-sm 29095  df-0v 29096  df-nmcv 29098  df-hnorm 29466  df-hba 29467  df-hvsub 29469  df-nmop 30337

This theorem is referenced by:  nmlnopgt0i  30495  nmopcoi  30593  nmopleid  30637