Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc3 34789
Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
elicc3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))

Proof of Theorem elicc3
StepHypRef Expression
1 elicc1 13308 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*))
4 xrletr 13077 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
54exp5o 1355 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
65com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
76imp5q 34784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
8 df-ne 2944 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
9 xrleltne 13064 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐴))
109biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
118, 10biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
12113adant3r3 1184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
1312adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
14 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
1514necon3bbii 2991 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = 𝐵𝐵𝐶)
16 xrleltne 13064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
1716biimprd 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
1815, 17biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
19183exp 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2120imp32 419 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
22213adantr2 1170 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2322adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2413, 23anim12d 609 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2524ex 413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
26 df-or 846 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
27 3orass 1090 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
28 pm5.6 1000 . . . . . . 7 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
29 orcom 868 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3029imbi2i 335 . . . . . . 7 ((¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3128, 30bitri 274 . . . . . 6 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3226, 27, 313bitr4ri 303 . . . . 5 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3325, 32syl6ib 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
343, 7, 333jcad 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
35 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3635a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*))
37 xrleid 13070 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3837ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
39 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐴))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐴𝐶))
41 xrltle 13068 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4342adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4443adantrd 492 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶))
45 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
46 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐴𝐵))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐴𝐶))
4840, 44, 473jaod 1428 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))
4948exp31 420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))))
50493impd 1348 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐴𝐶))
51 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
5245, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶𝐵))
53 xrltle 13068 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5453ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5554adantld 491 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5655adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
58 xrleid 13070 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
5958ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
60 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶𝐵𝐵𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐶𝐵))
6252, 57, 613jaod 1428 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))
6362exp31 420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))))
64633impd 1348 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶𝐵))
6536, 50, 643jcad 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
6634, 65impbid 211 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
671, 66bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  [,]cicc 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-icc 13271
This theorem is referenced by:  ivthALT  34807
  Copyright terms: Public domain W3C validator