Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc3 34842
Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
elicc3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))

Proof of Theorem elicc3
StepHypRef Expression
1 elicc1 13317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*))
4 xrletr 13086 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
54exp5o 1356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
65com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
76imp5q 34837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
8 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
9 xrleltne 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐴))
109biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
118, 10biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
12113adant3r3 1185 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
1312adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
14 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
1514necon3bbii 2988 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = 𝐵𝐵𝐶)
16 xrleltne 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
1716biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
1815, 17biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
19183exp 1120 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2120imp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
22213adantr2 1171 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2322adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2413, 23anim12d 610 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2524ex 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
26 df-or 847 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
27 3orass 1091 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
28 pm5.6 1001 . . . . . . 7 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
29 orcom 869 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3029imbi2i 336 . . . . . . 7 ((¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3128, 30bitri 275 . . . . . 6 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3226, 27, 313bitr4ri 304 . . . . 5 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3325, 32syl6ib 251 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
343, 7, 333jcad 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
35 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3635a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*))
37 xrleid 13079 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3837ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
39 breq2 5113 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐴))
4038, 39syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐴𝐶))
41 xrltle 13077 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4342adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4443adantrd 493 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶))
45 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
46 breq2 5113 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐴𝐵))
4745, 46syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐴𝐶))
4840, 44, 473jaod 1429 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))
4948exp31 421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))))
50493impd 1349 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐴𝐶))
51 breq1 5112 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
5245, 51syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶𝐵))
53 xrltle 13077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5453ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5554adantld 492 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5655adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
58 xrleid 13079 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
5958ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
60 breq1 5112 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶𝐵𝐵𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐶𝐵))
6252, 57, 613jaod 1429 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))
6362exp31 421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))))
64633impd 1349 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶𝐵))
6536, 50, 643jcad 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
6634, 65impbid 211 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
671, 66bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  ivthALT  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator