Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc3 36300
Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
elicc3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))

Proof of Theorem elicc3
StepHypRef Expression
1 elicc1 13428 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*))
4 xrletr 13197 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
54exp5o 1354 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
65com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
76imp5q 36295 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
8 df-ne 2939 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
9 xrleltne 13184 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐴))
109biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
118, 10biimtrrid 243 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
12113adant3r3 1183 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
1312adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
14 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
1514necon3bbii 2986 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = 𝐵𝐵𝐶)
16 xrleltne 13184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
1716biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
1815, 17biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
19183exp 1118 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2120imp32 418 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
22213adantr2 1169 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2322adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2413, 23anim12d 609 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2524ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
26 df-or 848 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
27 3orass 1089 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
28 pm5.6 1003 . . . . . . 7 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
29 orcom 870 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3029imbi2i 336 . . . . . . 7 ((¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3128, 30bitri 275 . . . . . 6 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3226, 27, 313bitr4ri 304 . . . . 5 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3325, 32imbitrdi 251 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
343, 7, 333jcad 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
35 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3635a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*))
37 xrleid 13190 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3837ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
39 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐴))
4038, 39syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐴𝐶))
41 xrltle 13188 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4342adantllr 719 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4443adantrd 491 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶))
45 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
46 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐴𝐵))
4745, 46syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐴𝐶))
4840, 44, 473jaod 1428 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))
4948exp31 419 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))))
50493impd 1347 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐴𝐶))
51 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
5245, 51syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶𝐵))
53 xrltle 13188 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5453ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5554adantld 490 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5655adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
58 xrleid 13190 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
5958ad3antlr 731 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
60 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶𝐵𝐵𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐶𝐵))
6252, 57, 613jaod 1428 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))
6362exp31 419 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))))
64633impd 1347 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶𝐵))
6536, 50, 643jcad 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
6634, 65impbid 212 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
671, 66bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  ivthALT  36318
  Copyright terms: Public domain W3C validator