Theorem fullfunexg 5860

Description: The full function of a set is a set. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fullfunexg	⊢ (F ∈ V → FullFun F ∈ V)

Proof of Theorem fullfunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fullfun 5769	. 2 ⊢ FullFun F = ((( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∪ ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅}))
2		idex 5505	. . . . 5 ⊢ I ∈ V
3		coexg 4750	. . . . 5 ⊢ (( I ∈ V ∧ F ∈ V) → ( I ∘ F) ∈ V)
4	2, 3	mpan 651	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → ( I ∘ F) ∈ V)
5	2	complex 4105	. . . . 5 ⊢ ∼ I ∈ V
6		coexg 4750	. . . . 5 ⊢ (( ∼ I ∈ V ∧ F ∈ V) → ( ∼ I ∘ F) ∈ V)
7	5, 6	mpan 651	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → ( ∼ I ∘ F) ∈ V)
8		difexg 4103	. . . 4 ⊢ ((( I ∘ F) ∈ V ∧ ( ∼ I ∘ F) ∈ V) → (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V)
9	4, 7, 8	syl2anc 642	. . 3 ⊢ (F ∈ V → (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V)
10		dmexg 5106	. . . . 5 ⊢ ((( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V → dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V)
11		complexg 4100	. . . . 5 ⊢ (dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V → ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V)
13		snex 4112	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
14		xpexg 5115	. . . 4 ⊢ (( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅}) ∈ V)
15	12, 13, 14	sylancl 643	. . 3 ⊢ (F ∈ V → ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅}) ∈ V)
16		unexg 4102	. . 3 ⊢ (((( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∈ V ∧ ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅}) ∈ V) → ((( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∪ ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅})) ∈ V)
17	9, 15, 16	syl2anc 642	. 2 ⊢ (F ∈ V → ((( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ∪ ( ∼ dom (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) × {∅})) ∈ V)
18	1, 17	syl5eqel 2437	1 ⊢ (F ∈ V → FullFun F ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208  ∅c0 3551  {csn 3738   ∘ ccom 4722   I cid 4764   × cxp 4771  dom cdm 4773   FullFun cfullfun 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-2nd 4798  df-fullfun 5769

This theorem is referenced by:  fullfunex  5861