NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fullfunexg GIF version

Theorem fullfunexg 5859
Description: The full function of a set is a set. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fullfunexg (F VFullFun F V)

Proof of Theorem fullfunexg
StepHypRef Expression
1 df-fullfun 5768 . 2 FullFun F = ((( I F) ( ∼ I F)) ∪ ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {}))
2 idex 5504 . . . . 5 I V
3 coexg 4749 . . . . 5 (( I V F V) → ( I F) V)
42, 3mpan 651 . . . 4 (F V → ( I F) V)
52complex 4104 . . . . 5 ∼ I V
6 coexg 4749 . . . . 5 (( ∼ I V F V) → ( ∼ I F) V)
75, 6mpan 651 . . . 4 (F V → ( ∼ I F) V)
8 difexg 4102 . . . 4 ((( I F) V ( ∼ I F) V) → (( I F) ( ∼ I F)) V)
94, 7, 8syl2anc 642 . . 3 (F V → (( I F) ( ∼ I F)) V)
10 dmexg 5105 . . . . 5 ((( I F) ( ∼ I F)) V → dom (( I F) ( ∼ I F)) V)
11 complexg 4099 . . . . 5 (dom (( I F) ( ∼ I F)) V → ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) V)
129, 10, 113syl 18 . . . 4 (F V → ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) V)
13 snex 4111 . . . 4 {} V
14 xpexg 5114 . . . 4 (( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) V {} V) → ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {}) V)
1512, 13, 14sylancl 643 . . 3 (F V → ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {}) V)
16 unexg 4101 . . 3 (((( I F) ( ∼ I F)) V ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {}) V) → ((( I F) ( ∼ I F)) ∪ ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {})) V)
179, 15, 16syl2anc 642 . 2 (F V → ((( I F) ( ∼ I F)) ∪ ( ∼ dom (( I F) ( ∼ I F)) × {})) V)
181, 17syl5eqel 2437 1 (F VFullFun F V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1710  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cun 3207  c0 3550  {csn 3737   ccom 4721   I cid 4763   × cxp 4770  dom cdm 4772   FullFun cfullfun 5767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-2nd 4797  df-fullfun 5768
This theorem is referenced by:  fullfunex  5860
  Copyright terms: Public domain W3C validator