Theorem nnc3p1n3p2 6281

Description: One more than three times a natural is not two more than three times a natural. Final part of Theorem 3.4 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnc3p1n3p2	⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ¬ (((A +c A) +c A) +c 1c) = (((B +c B) +c B) +c 2c))

Proof of Theorem nnc3p1n3p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnc3n3p1 6279	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ¬ ((A +c A) +c A) = (((B +c B) +c B) +c 1c))
2		nncaddccl 4420	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ A ∈ Nn ) → (A +c A) ∈ Nn )
3	2	anidms 626	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Nn → (A +c A) ∈ Nn )
4		nncaddccl 4420	. . . . 5 ⊢ (((A +c A) ∈ Nn ∧ A ∈ Nn ) → ((A +c A) +c A) ∈ Nn )
5	3, 4	mpancom 650	. . . 4 ⊢ (A ∈ Nn → ((A +c A) +c A) ∈ Nn )
6		nncaddccl 4420	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → (B +c B) ∈ Nn )
7	6	anidms 626	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Nn → (B +c B) ∈ Nn )
8		nncaddccl 4420	. . . . . 6 ⊢ (((B +c B) ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ((B +c B) +c B) ∈ Nn )
9	7, 8	mpancom 650	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Nn → ((B +c B) +c B) ∈ Nn )
10		peano2 4404	. . . . 5 ⊢ (((B +c B) +c B) ∈ Nn → (((B +c B) +c B) +c 1c) ∈ Nn )
11	9, 10	syl 15	. . . 4 ⊢ (B ∈ Nn → (((B +c B) +c B) +c 1c) ∈ Nn )
12		suc11nnc 4559	. . . 4 ⊢ ((((A +c A) +c A) ∈ Nn ∧ (((B +c B) +c B) +c 1c) ∈ Nn ) → ((((A +c A) +c A) +c 1c) = ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c) ↔ ((A +c A) +c A) = (((B +c B) +c B) +c 1c)))
13	5, 11, 12	syl2an 463	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ((((A +c A) +c A) +c 1c) = ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c) ↔ ((A +c A) +c A) = (((B +c B) +c B) +c 1c)))
14	1, 13	mtbird 292	. 2 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ¬ (((A +c A) +c A) +c 1c) = ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c))
15		addcass 4416	. . . 4 ⊢ ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c) = (((B +c B) +c B) +c (1c +c 1c))
16		1p1e2c 6156	. . . . 5 ⊢ (1c +c 1c) = 2c
17	16	addceq2i 4388	. . . 4 ⊢ (((B +c B) +c B) +c (1c +c 1c)) = (((B +c B) +c B) +c 2c)
18	15, 17	eqtr2i 2374	. . 3 ⊢ (((B +c B) +c B) +c 2c) = ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c)
19	18	eqeq2i 2363	. 2 ⊢ ((((A +c A) +c A) +c 1c) = (((B +c B) +c B) +c 2c) ↔ (((A +c A) +c A) +c 1c) = ((((B +c B) +c B) +c 1c) +c 1c))
20	14, 19	sylnibr 296	1 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ¬ (((A +c A) +c A) +c 1c) = (((B +c B) +c B) +c 2c))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376  2_cc2c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-2c 6105

This theorem is referenced by:  nchoicelem2  6291