Theorem nncdiv3 6277

Description: Divisibility by three rule for finite cardinals. Part of Theorem 3.4 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nncdiv3	⊢ (A ∈ Nn → ∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem nncdiv3

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncdiv3lem2 6276	. 2 ⊢ {a ∣ ∃n ∈ Nn (a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c))} ∈ V
2		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = 0c → (a = ((n +c n) +c n) ↔ 0c = ((n +c n) +c n)))
3		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = 0c → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
4		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = 0c → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
5	2, 3, 4	3orbi123d 1251	. . 3 ⊢ (a = 0c → ((a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (0c = ((n +c n) +c n) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
6	5	rexbidv 2635	. 2 ⊢ (a = 0c → (∃n ∈ Nn (a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn (0c = ((n +c n) +c n) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
7		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = m → (a = ((n +c n) +c n) ↔ m = ((n +c n) +c n)))
8		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = m → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
9		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = m → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
10	7, 8, 9	3orbi123d 1251	. . 3 ⊢ (a = m → ((a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
11	10	rexbidv 2635	. 2 ⊢ (a = m → (∃n ∈ Nn (a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
12		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = (m +c 1c) → (a = ((n +c n) +c n) ↔ (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
13		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = (m +c 1c) → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
14		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = (m +c 1c) → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
15	12, 13, 14	3orbi123d 1251	. . 3 ⊢ (a = (m +c 1c) → ((a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
16	15	rexbidv 2635	. 2 ⊢ (a = (m +c 1c) → (∃n ∈ Nn (a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
17		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = A → (a = ((n +c n) +c n) ↔ A = ((n +c n) +c n)))
18		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = A → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ A = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
19		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = A → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
20	17, 18, 19	3orbi123d 1251	. . 3 ⊢ (a = A → ((a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
21	20	rexbidv 2635	. 2 ⊢ (a = A → (∃n ∈ Nn (a = ((n +c n) +c n) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
22		peano1 4402	. . 3 ⊢ 0c ∈ Nn
23		addcid1 4405	. . . . 5 ⊢ ((0c +c 0c) +c 0c) = (0c +c 0c)
24		addcid2 4407	. . . . 5 ⊢ (0c +c 0c) = 0c
25	23, 24	eqtr2i 2374	. . . 4 ⊢ 0c = ((0c +c 0c) +c 0c)
26		3mix1 1124	. . . 4 ⊢ (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) → (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))
28		addceq12 4385	. . . . . . . 8 ⊢ ((n = 0c ∧ n = 0c) → (n +c n) = (0c +c 0c))
29	28	anidms 626	. . . . . . 7 ⊢ (n = 0c → (n +c n) = (0c +c 0c))
30		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (n = 0c → n = 0c)
31	29, 30	addceq12d 4391	. . . . . 6 ⊢ (n = 0c → ((n +c n) +c n) = ((0c +c 0c) +c 0c))
32	31	eqeq2d 2364	. . . . 5 ⊢ (n = 0c → (0c = ((n +c n) +c n) ↔ 0c = ((0c +c 0c) +c 0c)))
33	31	addceq1d 4389	. . . . . 6 ⊢ (n = 0c → (((n +c n) +c n) +c 1c) = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c))
34	33	eqeq2d 2364	. . . . 5 ⊢ (n = 0c → (0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c)))
35	31	addceq1d 4389	. . . . . 6 ⊢ (n = 0c → (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))
36	35	eqeq2d 2364	. . . . 5 ⊢ (n = 0c → (0c = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c)))
37	32, 34, 36	3orbi123d 1251	. . . 4 ⊢ (n = 0c → ((0c = ((n +c n) +c n) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))))
38	37	rspcev 2955	. . 3 ⊢ ((0c ∈ Nn ∧ (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) ∨ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))) → ∃n ∈ Nn (0c = ((n +c n) +c n) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
39	22, 27, 38	mp2an 653	. 2 ⊢ ∃n ∈ Nn (0c = ((n +c n) +c n) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))
40		addceq1 4383	. . . . . 6 ⊢ (m = ((n +c n) +c n) → (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c))
41	40	reximi 2721	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c))
42	41	a1i 10	. . . 4 ⊢ (m ∈ Nn → (∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
43		addceq1 4383	. . . . . . 7 ⊢ (m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (m +c 1c) = ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
44		addcass 4415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c (1c +c 1c))
45		1p1e2c 6155	. . . . . . . . 9 ⊢ (1c +c 1c) = 2c
46	45	addceq2i 4387	. . . . . . . 8 ⊢ (((n +c n) +c n) +c (1c +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c)
47	44, 46	eqtri 2373	. . . . . . 7 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)
48	43, 47	syl6eq 2401	. . . . . 6 ⊢ (m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
49	48	reximi 2721	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
50	49	a1i 10	. . . 4 ⊢ (m ∈ Nn → (∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
51		peano2 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ Nn )
52		addc32 4416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((n +c n) +c 2c) +c n)
53	45	addceq2i 4387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((n +c n) +c (1c +c 1c)) = ((n +c n) +c 2c)
54		addc4 4417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((n +c n) +c (1c +c 1c)) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
55	53, 54	eqtr3i 2375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c n) +c 2c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
56	55	addceq1i 4386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) +c 2c) +c n) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n)
57	52, 56	eqtri 2373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n)
58	57	addceq1i 4386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n) +c 1c)
59		addcass 4415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
60	58, 59	eqtri 2373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
61		addceq12 4385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a = (n +c 1c) ∧ a = (n +c 1c)) → (a +c a) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
62	61	anidms 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a = (n +c 1c) → (a +c a) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
63		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a = (n +c 1c) → a = (n +c 1c))
64	62, 63	addceq12d 4391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (a = (n +c 1c) → ((a +c a) +c a) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
65	64	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (a = (n +c 1c) → (((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))))
66	65	rspcev 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c 1c) ∈ Nn ∧ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))) → ∃a ∈ Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a))
67	51, 60, 66	sylancl 643	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → ∃a ∈ Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a))
68		addceq1 4383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (m +c 1c) = ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
69	68	eqeq1d 2361	. . . . . . . . 9 ⊢ (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ((m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
70	69	rexbidv 2635	. . . . . . . 8 ⊢ (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (∃a ∈ Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ∃a ∈ Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
71	67, 70	syl5ibrcom 213	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ∃a ∈ Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
72	71	rexlimiv 2732	. . . . . 6 ⊢ (∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ∃a ∈ Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a))
73		addceq12 4385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((a = n ∧ a = n) → (a +c a) = (n +c n))
74	73	anidms 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (a = n → (a +c a) = (n +c n))
75		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (a = n → a = n)
76	74, 75	addceq12d 4391	. . . . . . . 8 ⊢ (a = n → ((a +c a) +c a) = ((n +c n) +c n))
77	76	eqeq2d 2364	. . . . . . 7 ⊢ (a = n → ((m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
78	77	cbvrexv 2836	. . . . . 6 ⊢ (∃a ∈ Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))
79	72, 78	sylib 188	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))
80	79	a1i 10	. . . 4 ⊢ (m ∈ Nn → (∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
81	42, 50, 80	3orim123d 1260	. . 3 ⊢ (m ∈ Nn → ((∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))))
82		df-3or 935	. . . . 5 ⊢ ((m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
83	82	rexbii 2639	. . . 4 ⊢ (∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn ((m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
84		r19.43 2766	. . . . . 6 ⊢ (∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ↔ (∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
85	84	orbi1i 506	. . . . 5 ⊢ ((∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
86		r19.43 2766	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn ((m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
87		df-3or 935	. . . . 5 ⊢ ((∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
88	85, 86, 87	3bitr4i 268	. . . 4 ⊢ (∃n ∈ Nn ((m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
89	83, 88	bitri 240	. . 3 ⊢ (∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn m = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
90		df-3or 935	. . . . 5 ⊢ (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
91	90	rexbii 2639	. . . 4 ⊢ (∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ∃n ∈ Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
92		r19.43 2766	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
93		r19.43 2766	. . . . . . 7 ⊢ (∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
94	93	orbi1i 506	. . . . . 6 ⊢ ((∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
95		df-3or 935	. . . . . 6 ⊢ ((∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
96		3orrot 940	. . . . . 6 ⊢ ((∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
97	94, 95, 96	3bitr2i 264	. . . . 5 ⊢ ((∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
98	92, 97	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃n ∈ Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
99	91, 98	bitri 240	. . 3 ⊢ (∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ∨ ∃n ∈ Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
100	81, 89, 99	3imtr4g 261	. 2 ⊢ (m ∈ Nn → (∃n ∈ Nn (m = ((n +c n) +c n) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ∃n ∈ Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
101	1, 6, 11, 16, 21, 39, 100	finds 4411	1 ⊢ (A ∈ Nn → ∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 357   ∨ w3o 933   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   +_c cplc 4375  2_cc2c 6094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104

This theorem is referenced by:  nchoicelem1  6289  nchoicelem2  6290