Theorem frecsuc 6323

Description: Calculate the value of the finite recursive function generator at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecsuc.1	⊢ F = FRec (G, I)
frecsuc.2	⊢ (φ → G ∈ Funs )
frecsuc.3	⊢ (φ → I ∈ dom G)
frecsuc.4	⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)
frecsuc.5	⊢ (φ → X ∈ Nn )

Assertion

Ref	Expression
frecsuc	⊢ (φ → (F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(F ‘X)))

Proof of Theorem frecsuc

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecsuc.1	. . . . . . . 8 ⊢ F = FRec (G, I)
2		frecsuc.2	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → G ∈ Funs )
3		frecsuc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → I ∈ dom G)
4		frecsuc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)
5	1, 2, 3, 4	fnfrec 6321	. . . . . . 7 ⊢ (φ → F Fn Nn )
6		fnfun 5182	. . . . . . 7 ⊢ (F Fn Nn → Fun F)
7	5, 6	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (φ → Fun F)
8		frecsuc.5	. . . . . . 7 ⊢ (φ → X ∈ Nn )
9	1, 2, 3, 4	dmfrec 6317	. . . . . . 7 ⊢ (φ → dom F = Nn )
10	8, 9	eleqtrrd 2430	. . . . . 6 ⊢ (φ → X ∈ dom F)
11		funfvop 5401	. . . . . 6 ⊢ ((Fun F ∧ X ∈ dom F) → ⟨X, (F ‘X)⟩ ∈ F)
12	7, 10, 11	syl2anc 642	. . . . 5 ⊢ (φ → ⟨X, (F ‘X)⟩ ∈ F)
13		eqid 2353	. . . . . 6 ⊢ (X +c 1c) = (X +c 1c)
14		peano2 4404	. . . . . . . 8 ⊢ (X ∈ Nn → (X +c 1c) ∈ Nn )
15	8, 14	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (X +c 1c) ∈ Nn )
16		addceq1 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = X → (w +c 1c) = (X +c 1c))
17	16	eqeq2d 2364	. . . . . . . 8 ⊢ (w = X → (y = (w +c 1c) ↔ y = (X +c 1c)))
18		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (X +c 1c) → (y = (X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
19		mptv 5719	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)) = {⟨w, y⟩ ∣ y = (w +c 1c)}
20	17, 18, 19	brabg 4707	. . . . . . 7 ⊢ ((X ∈ Nn ∧ (X +c 1c) ∈ Nn ) → (X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
21	8, 15, 20	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (φ → (X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
22	13, 21	mpbiri 224	. . . . 5 ⊢ (φ → X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c))
23		elfunsi 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (G ∈ Funs → Fun G)
24	2, 23	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (φ → Fun G)
25	3	snssd 3854	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → {I} ⊆ dom G)
26	4, 25	unssd 3440	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → (ran G ∪ {I}) ⊆ dom G)
27	1	frecxpg 6316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (G ∈ Funs → F ⊆ ( Nn × (ran G ∪ {I})))
28	2, 27	syl 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → F ⊆ ( Nn × (ran G ∪ {I})))
29		rnss 4960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (F ⊆ ( Nn × (ran G ∪ {I})) → ran F ⊆ ran ( Nn × (ran G ∪ {I})))
30	28, 29	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (φ → ran F ⊆ ran ( Nn × (ran G ∪ {I})))
31		rnxpss 5054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ( Nn × (ran G ∪ {I})) ⊆ (ran G ∪ {I})
32	30, 31	syl6ss 3285	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → ran F ⊆ (ran G ∪ {I}))
33		fvelrn 5414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun F ∧ X ∈ dom F) → (F ‘X) ∈ ran F)
34	7, 10, 33	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → (F ‘X) ∈ ran F)
35	32, 34	sseldd 3275	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → (F ‘X) ∈ (ran G ∪ {I}))
36	26, 35	sseldd 3275	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (F ‘X) ∈ dom G)
37		funfvop 5401	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun G ∧ (F ‘X) ∈ dom G) → ⟨(F ‘X), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ G)
38	24, 36, 37	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (φ → ⟨(F ‘X), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ G)
39		df-br 4641	. . . . . 6 ⊢ ((F ‘X)G(G ‘(F ‘X)) ↔ ⟨(F ‘X), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ G)
40	38, 39	sylibr 203	. . . . 5 ⊢ (φ → (F ‘X)G(G ‘(F ‘X)))
41		breq1 4643	. . . . . . 7 ⊢ (y = ⟨X, (F ‘X)⟩ → (y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ↔ ⟨X, (F ‘X)⟩ PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩))
42		qrpprod 5837	. . . . . . 7 ⊢ (⟨X, (F ‘X)⟩ PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ↔ (X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c) ∧ (F ‘X)G(G ‘(F ‘X))))
43	41, 42	syl6bb 252	. . . . . 6 ⊢ (y = ⟨X, (F ‘X)⟩ → (y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ↔ (X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c) ∧ (F ‘X)G(G ‘(F ‘X)))))
44	43	rspcev 2956	. . . . 5 ⊢ ((⟨X, (F ‘X)⟩ ∈ F ∧ (X(w ∈ V ↦ (w +c 1c))(X +c 1c) ∧ (F ‘X)G(G ‘(F ‘X)))) → ∃y ∈ F y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩)
45	12, 22, 40, 44	syl12anc 1180	. . . 4 ⊢ (φ → ∃y ∈ F y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩)
46	45	olcd 382	. . 3 ⊢ (φ → (⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ {⟨0c, I⟩} ∨ ∃y ∈ F y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩))
47		snex 4112	. . . 4 ⊢ {⟨0c, I⟩} ∈ V
48		csucex 6260	. . . . 5 ⊢ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)) ∈ V
49		pprodexg 5838	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ V ↦ (w +c 1c)) ∈ V ∧ G ∈ Funs ) → PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G) ∈ V)
50	48, 2, 49	sylancr 644	. . . 4 ⊢ (φ → PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G) ∈ V)
51		df-frec 6311	. . . . . 6 ⊢ FRec (G, I) = Clos1 ({⟨0c, I⟩}, PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G))
52	1, 51	eqtri 2373	. . . . 5 ⊢ F = Clos1 ({⟨0c, I⟩}, PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G))
53	52	clos1basesucg 5885	. . . 4 ⊢ (({⟨0c, I⟩} ∈ V ∧ PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G) ∈ V) → (⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ F ↔ (⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ {⟨0c, I⟩} ∨ ∃y ∈ F y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩)))
54	47, 50, 53	sylancr 644	. . 3 ⊢ (φ → (⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ F ↔ (⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ {⟨0c, I⟩} ∨ ∃y ∈ F y PProd ((w ∈ V ↦ (w +c 1c)), G)⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩)))
55	46, 54	mpbird 223	. 2 ⊢ (φ → ⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ F)
56		fnopfvb 5360	. . 3 ⊢ ((F Fn Nn ∧ (X +c 1c) ∈ Nn ) → ((F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(F ‘X)) ↔ ⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ F))
57	5, 15, 56	syl2anc 642	. 2 ⊢ (φ → ((F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(F ‘X)) ↔ ⟨(X +c 1c), (G ‘(F ‘X))⟩ ∈ F))
58	55, 57	mpbird 223	1 ⊢ (φ → (F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(F ‘X)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3258  {csn 3738  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640   × cxp 4771  dom cdm 4773  ran crn 4774  Fun wfun 4776   Fn wfn 4777   ‘cfv 4782   ↦ cmpt 5652   PProd cpprod 5738   Funs cfuns 5760   Clos1 cclos1 5873   FRec cfrec 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fo 4794  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-pprod 5739  df-fix 5741  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-clos1 5874  df-frec 6311

This theorem is referenced by: (None)