New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  frecsuc GIF version

Theorem frecsuc 6322
 Description: Calculate the value of the finite recursive function generator at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frecsuc.1 F = FRec (G, I)
frecsuc.2 (φG Funs )
frecsuc.3 (φI dom G)
frecsuc.4 (φ → ran G dom G)
frecsuc.5 (φX Nn )
Assertion
Ref Expression
frecsuc (φ → (F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(FX)))

Proof of Theorem frecsuc
Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecsuc.1 . . . . . . . 8 F = FRec (G, I)
2 frecsuc.2 . . . . . . . 8 (φG Funs )
3 frecsuc.3 . . . . . . . 8 (φI dom G)
4 frecsuc.4 . . . . . . . 8 (φ → ran G dom G)
51, 2, 3, 4fnfrec 6320 . . . . . . 7 (φF Fn Nn )
6 fnfun 5181 . . . . . . 7 (F Fn Nn → Fun F)
75, 6syl 15 . . . . . 6 (φ → Fun F)
8 frecsuc.5 . . . . . . 7 (φX Nn )
91, 2, 3, 4dmfrec 6316 . . . . . . 7 (φ → dom F = Nn )
108, 9eleqtrrd 2430 . . . . . 6 (φX dom F)
11 funfvop 5400 . . . . . 6 ((Fun F X dom F) → X, (FX) F)
127, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5 (φX, (FX) F)
13 eqid 2353 . . . . . 6 (X +c 1c) = (X +c 1c)
14 peano2 4403 . . . . . . . 8 (X Nn → (X +c 1c) Nn )
158, 14syl 15 . . . . . . 7 (φ → (X +c 1c) Nn )
16 addceq1 4383 . . . . . . . . 9 (w = X → (w +c 1c) = (X +c 1c))
1716eqeq2d 2364 . . . . . . . 8 (w = X → (y = (w +c 1c) ↔ y = (X +c 1c)))
18 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (y = (X +c 1c) → (y = (X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
19 mptv 5718 . . . . . . . 8 (w V (w +c 1c)) = {w, y y = (w +c 1c)}
2017, 18, 19brabg 4706 . . . . . . 7 ((X Nn (X +c 1c) Nn ) → (X(w V (w +c 1c))(X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
218, 15, 20syl2anc 642 . . . . . 6 (φ → (X(w V (w +c 1c))(X +c 1c) ↔ (X +c 1c) = (X +c 1c)))
2213, 21mpbiri 224 . . . . 5 (φX(w V (w +c 1c))(X +c 1c))
23 elfunsi 5831 . . . . . . . 8 (G Funs → Fun G)
242, 23syl 15 . . . . . . 7 (φ → Fun G)
253snssd 3853 . . . . . . . . 9 (φ → {I} dom G)
264, 25unssd 3439 . . . . . . . 8 (φ → (ran G ∪ {I}) dom G)
271frecxpg 6315 . . . . . . . . . . . 12 (G FunsF ( Nn × (ran G ∪ {I})))
282, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11 (φF ( Nn × (ran G ∪ {I})))
29 rnss 4959 . . . . . . . . . . 11 (F ( Nn × (ran G ∪ {I})) → ran F ran ( Nn × (ran G ∪ {I})))
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . 10 (φ → ran F ran ( Nn × (ran G ∪ {I})))
31 rnxpss 5053 . . . . . . . . . 10 ran ( Nn × (ran G ∪ {I})) (ran G ∪ {I})
3230, 31syl6ss 3284 . . . . . . . . 9 (φ → ran F (ran G ∪ {I}))
33 fvelrn 5413 . . . . . . . . . 10 ((Fun F X dom F) → (FX) ran F)
347, 10, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (φ → (FX) ran F)
3532, 34sseldd 3274 . . . . . . . 8 (φ → (FX) (ran G ∪ {I}))
3626, 35sseldd 3274 . . . . . . 7 (φ → (FX) dom G)
37 funfvop 5400 . . . . . . 7 ((Fun G (FX) dom G) → (FX), (G ‘(FX)) G)
3824, 36, 37syl2anc 642 . . . . . 6 (φ(FX), (G ‘(FX)) G)
39 df-br 4640 . . . . . 6 ((FX)G(G ‘(FX)) ↔ (FX), (G ‘(FX)) G)
4038, 39sylibr 203 . . . . 5 (φ → (FX)G(G ‘(FX)))
41 breq1 4642 . . . . . . 7 (y = X, (FX) → (y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX))X, (FX) PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX))))
42 qrpprod 5836 . . . . . . 7 (X, (FX) PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)) ↔ (X(w V (w +c 1c))(X +c 1c) (FX)G(G ‘(FX))))
4341, 42syl6bb 252 . . . . . 6 (y = X, (FX) → (y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)) ↔ (X(w V (w +c 1c))(X +c 1c) (FX)G(G ‘(FX)))))
4443rspcev 2955 . . . . 5 ((X, (FX) F (X(w V (w +c 1c))(X +c 1c) (FX)G(G ‘(FX)))) → y F y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)))
4512, 22, 40, 44syl12anc 1180 . . . 4 (φy F y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)))
4645olcd 382 . . 3 (φ → ((X +c 1c), (G ‘(FX)) {0c, I} y F y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX))))
47 snex 4111 . . . 4 {0c, I} V
48 csucex 6259 . . . . 5 (w V (w +c 1c)) V
49 pprodexg 5837 . . . . 5 (((w V (w +c 1c)) V G Funs ) → PProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
5048, 2, 49sylancr 644 . . . 4 (φPProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
51 df-frec 6310 . . . . . 6 FRec (G, I) = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
521, 51eqtri 2373 . . . . 5 F = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
5352clos1basesucg 5884 . . . 4 (({0c, I} V PProd ((w V (w +c 1c)), G) V) → ((X +c 1c), (G ‘(FX)) F ↔ ((X +c 1c), (G ‘(FX)) {0c, I} y F y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)))))
5447, 50, 53sylancr 644 . . 3 (φ → ((X +c 1c), (G ‘(FX)) F ↔ ((X +c 1c), (G ‘(FX)) {0c, I} y F y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), (G ‘(FX)))))
5546, 54mpbird 223 . 2 (φ(X +c 1c), (G ‘(FX)) F)
56 fnopfvb 5359 . . 3 ((F Fn Nn (X +c 1c) Nn ) → ((F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(FX)) ↔ (X +c 1c), (G ‘(FX)) F))
575, 15, 56syl2anc 642 . 2 (φ → ((F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(FX)) ↔ (X +c 1c), (G ‘(FX)) F))
5855, 57mpbird 223 1 (φ → (F ‘(X +c 1c)) = (G ‘(FX)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ⊆ wss 3257  {csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781   ↦ cmpt 5651   PProd cpprod 5737   Funs cfuns 5759   Clos1 cclos1 5872   FRec cfrec 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-clos1 5873  df-frec 6310 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator