Theorem 0r 7275

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7092	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 4459	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 417	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 7262	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 6326	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 7256	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 7252	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2169	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 1438  ⟨cop 3444   × cxp 4426  [cec 6270   / cqs 6271  Pcnp 6829  1_Pc1p 6830   ~_R cer 6834  Rcnr 6835  0_Rc0r 6836

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-enr 7251  df-nr 7252  df-0r 7256

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7300  ltadd1sr  7301  opelreal  7344  elreal  7345  elrealeu  7346  elreal2  7347  eqresr  7352  addresr  7353  mulresr  7354  pitonn  7364  peano2nnnn  7369  axresscn  7376  axicn  7379  axi2m1  7389  ax0id  7392  axprecex  7394  axcnre  7395