Theorem 0r 7779

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7583	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 4676	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 7766	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 6615	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 7760	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 7756	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2271	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  ⟨cop 3610   × cxp 4642  [cec 6557   / cqs 6558  Pcnp 7320  1_Pc1p 7321   ~_R cer 7325  Rcnr 7326  0_Rc0r 7327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495  df-i1p 7496  df-enr 7755  df-nr 7756  df-0r 7760

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7804  ltadd1sr  7805  map2psrprg  7834  suplocsrlempr  7836  opelreal  7856  elreal  7857  elrealeu  7858  elreal2  7859  eqresr  7865  addresr  7866  mulresr  7867  pitonn  7877  peano2nnnn  7882  axresscn  7889  axicn  7892  axi2m1  7904  ax0id  7907  axprecex  7909  axcnre  7910