Theorem 1ap0 8760

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	⊢ 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8296	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	olci 737	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
3		1re 8168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0re 8169	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		reaplt 8758	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1)))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
7	2, 6	mpbir 146	1 ⊢ 1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   < clt 8204   # cap 8751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752

This theorem is referenced by:  recapb  8841  recap0  8855  div1  8873  recdivap  8888  divdivap1  8893  divdivap2  8894  neg1ap0  9242  iap0  9357  qreccl  9866  expcl2lemap  10803  m1expcl2  10813  expclzaplem  10815  1exp  10820  geo2sum2  12066  geoihalfsum  12073  fprodntrivap  12135  prod0  12136  prod1dc  12137  fprodap0  12172  fprodap0f  12187  efap0  12228  tan0  12282  1sgm2ppw  15709  lgsne0  15757  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgsquadlem1  15796  cvgcmp2nlemabs  16572  trirec0  16584