Theorem 1ap0 8524

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	⊢ 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8061	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	olci 732	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
3		1re 7934	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0re 7935	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		reaplt 8522	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1)))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
7	2, 6	mpbir 146	1 ⊢ 1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  ℝcr 7788  0cc0 7789  1c1 7790   < clt 7969   # cap 8515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516

This theorem is referenced by:  recapb  8604  recap0  8618  div1  8636  recdivap  8651  divdivap1  8656  divdivap2  8657  neg1ap0  9004  iap0  9118  qreccl  9618  expcl2lemap  10505  m1expcl2  10515  expclzaplem  10517  1exp  10522  geo2sum2  11494  geoihalfsum  11501  fprodntrivap  11563  prod0  11564  prod1dc  11565  fprodap0  11600  fprodap0f  11615  efap0  11656  tan0  11710  lgsne0  14072  cvgcmp2nlemabs  14403  trirec0  14415