Theorem 1ap0 8812

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	⊢ 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8348	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	olci 740	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
3		1re 8221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0re 8222	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		reaplt 8810	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1)))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
7	2, 6	mpbir 146	1 ⊢ 1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8256   # cap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804

This theorem is referenced by:  recapb  8893  recap0  8907  div1  8925  recdivap  8940  divdivap1  8945  divdivap2  8946  neg1ap0  9294  iap0  9409  qreccl  9920  expcl2lemap  10859  m1expcl2  10869  expclzaplem  10871  1exp  10876  geo2sum2  12139  geoihalfsum  12146  fprodntrivap  12208  prod0  12209  prod1dc  12210  fprodap0  12245  fprodap0f  12260  efap0  12301  tan0  12355  1sgm2ppw  15792  lgsne0  15840  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem2  15873  lgsquadlem1  15879  cvgcmp2nlemabs  16747  trirec0  16759