Theorem 1ap0 8164

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	⊢ 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 7707	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	olci 689	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
3		1re 7584	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0re 7585	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		reaplt 8162	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1)))
6	3, 4, 5	mp2an 418	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
7	2, 6	mpbir 145	1 ⊢ 1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 667   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   < clt 7619   # cap 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156

This theorem is referenced by:  recap0  8249  div1  8267  recdivap  8282  divdivap1  8287  divdivap2  8288  neg1ap0  8629  iap0  8737  qreccl  9226  expcl2lemap  10098  m1expcl2  10108  expclzaplem  10110  1exp  10115  geo2sum2  11073  geoihalfsum  11080  efap0  11131  tan0  11186