Theorem 1hevtxdg1en 16119

Description: The vertex degree of vertex D in a multigraph G with only one edge E is 1 if D is incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hevtxdg1en.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
1hevtxdg1.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
1hevtxdg1.n	|- ( ph -> D e. E )
1hevtxdg1en.l	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1en	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 1 )

Proof of Theorem 1hevtxdg1en

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- dom (iEdg ` G ) = dom (iEdg ` G )
4		eqid 2229	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
5		1hevtxdg1en.g	. . 3 |- ( ph -> G e. UMGraph )
6		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
7		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
8	6, 7	eleqtrrd 2309	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
9		1hevtxdg0.i	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
10	9	dmeqd 4931	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
11		1hevtxdg1.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ~P V )
12		dmsnopg 5206	. . . . . 6 |- ( E e. ~P V -> dom { <. A , E >. } = { A } )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
14	10, 13	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
15		1hevtxdg0.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
16		snfig 6984	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
18	14, 17	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
19		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
20	7, 19	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
21	1, 2, 3, 4, 5, 8, 18, 20	vtxdumgrfival 16109	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = (♯ ` { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) )
22	14	rabeqdv 2794	. . 3 |- ( ph -> { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } )
23	22	fveq2d 5639	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) )
24		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
25	24	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
26	25	rabsnif 3736	. . . . 5 |- { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = if ( D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) , { A } , (/) )
27		1hevtxdg1.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. E )
28	9	fveq1d 5637	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
29		fvsng 5845	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ E e. ~P V ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
30	15, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
31	28, 30	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
32	27, 31	eleqtrrd 2309	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
33	32	iftrued 3610	. . . . 5 |- ( ph -> if ( D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) , { A } , (/) ) = { A } )
34	26, 33	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ph -> { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = { A } )
35	34	fveq2d 5639	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` { A } ) )
36		hashsng 11053	. . . 4 |- ( A e. X -> (♯ ` { A } ) = 1 )
37	15, 36	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { A } ) = 1 )
38	35, 37	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = 1 )
39	21, 23, 38	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   (/)c0 3492   ifcif 3603   ~Pcpw 3650   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   ` cfv 5324   2oc2o 6571   ~~ cen 6902   Fincfn 6904   1c1 8026  ♯chash 11030  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UMGraphcumgr 15936  VtxDegcvtxdg 16097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-xadd 10001  df-fz 10237  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-upgren 15937  df-umgren 15938  df-vtxdg 16098

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1fi  16120  p1evtxdp1fi  16124