Theorem 1hevtxdg1en 16290

Description: The vertex degree of vertex D in a multigraph G with only one edge E is 1 if D is incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hevtxdg1en.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
1hevtxdg1.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
1hevtxdg1.n	|- ( ph -> D e. E )
1hevtxdg1en.l	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1en	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 1 )

Proof of Theorem 1hevtxdg1en

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2232	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		eqid 2232	. . 3 |- dom (iEdg ` G ) = dom (iEdg ` G )
4		eqid 2232	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
5		1hevtxdg1en.g	. . 3 |- ( ph -> G e. UMGraph )
6		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
7		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
8	6, 7	eleqtrrd 2312	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
9		1hevtxdg0.i	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
10	9	dmeqd 4957	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
11		1hevtxdg1.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ~P V )
12		dmsnopg 5233	. . . . . 6 |- ( E e. ~P V -> dom { <. A , E >. } = { A } )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
14	10, 13	eqtrd 2265	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
15		1hevtxdg0.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
16		snfig 7055	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
18	14, 17	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
19		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
20	7, 19	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
21	1, 2, 3, 4, 5, 8, 18, 20	vtxdumgrfival 16280	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = (♯ ` { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) )
22	14	rabeqdv 2806	. . 3 |- ( ph -> { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } )
23	22	fveq2d 5673	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom (iEdg ` G ) | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) )
24		fveq2 5669	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
25	24	eleq2d 2302	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
26	25	rabsnif 3757	. . . . 5 |- { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = if ( D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) , { A } , (/) )
27		1hevtxdg1.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. E )
28	9	fveq1d 5671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
29		fvsng 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ E e. ~P V ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
30	15, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
31	28, 30	eqtrd 2265	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
32	27, 31	eleqtrrd 2312	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
33	32	iftrued 3628	. . . . 5 |- ( ph -> if ( D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) , { A } , (/) ) = { A } )
34	26, 33	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( ph -> { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } = { A } )
35	34	fveq2d 5673	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` { A } ) )
36		hashsng 11156	. . . 4 |- ( A e. X -> (♯ ` { A } ) = 1 )
37	15, 36	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { A } ) = 1 )
38	35, 37	eqtrd 2265	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. { A } | D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) } ) = 1 )
39	21, 23, 38	3eqtrd 2269	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   (/)c0 3507   ifcif 3619   ~Pcpw 3668   {csn 3688   <.cop 3691   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   ` cfv 5351   2oc2o 6640   ~~ cen 6972   Fincfn 6974   1c1 8124  ♯chash 11133  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UMGraphcumgr 16074  VtxDegcvtxdg 16268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-xadd 10102  df-fz 10339  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-upgren 16075  df-umgren 16076  df-vtxdg 16269

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1fi  16291  p1evtxdp1fi  16295