Theorem 1hegrvtxdg1fi 16163

Description: The vertex degree of a multigraph with one edge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrvtxdg1.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hegrvtxdg1fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hegrvtxdg1fi.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1hegrvtxdg1fi.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
6		1hegrvtxdg1fi.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
7		1hegrvtxdg1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
8		1hegrvtxdg1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
9		prid1g 3775	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	4, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	8, 10	sseldd 3228	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	1	fveq1d 5641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
13		fvsng 5850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
15	12, 14	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
16		snidg 3698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	1	dmeqd 4933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	eleqtrrd 2311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
23		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	umgredg2en 15963	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
26	6, 22, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
27	15, 26	eqbrtrrd 4112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 27	1hevtxdg1en 16162	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  {csn 3669  {cpr 3670  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907  Fincfn 6909  1c1 8033  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UMGraphcumgr 15946  VtxDegcvtxdg 16140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-ihash 11039  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-upgren 15947  df-umgren 15948  df-vtxdg 16141

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1rfi  16164  eupth2lem3lem4fi  16327