Theorem 1hegrvtxdg1fi 16120

Description: The vertex degree of a multigraph with one edge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrvtxdg1.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hegrvtxdg1fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hegrvtxdg1fi.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1hegrvtxdg1fi.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
6		1hegrvtxdg1fi.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
7		1hegrvtxdg1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
8		1hegrvtxdg1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
9		prid1g 3773	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	4, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	8, 10	sseldd 3226	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	1	fveq1d 5637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
13		fvsng 5845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
15	12, 14	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
16		snidg 3696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	1	dmeqd 4931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	eleqtrrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
23		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	umgredg2en 15953	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
26	6, 22, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
27	15, 26	eqbrtrrd 4110	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 27	1hevtxdg1en 16119	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650  {csn 3667  {cpr 3668  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  ‘cfv 5324  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902  Fincfn 6904  1c1 8026  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UMGraphcumgr 15936  VtxDegcvtxdg 16097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-xadd 10001  df-fz 10237  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-upgren 15937  df-umgren 15938  df-vtxdg 16098

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1rfi  16121