Theorem 1hegrvtxdg1fi 16321

Description: The vertex degree of a multigraph with one edge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrvtxdg1.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hegrvtxdg1fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hegrvtxdg1fi.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1hegrvtxdg1fi.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
6		1hegrvtxdg1fi.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
7		1hegrvtxdg1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
8		1hegrvtxdg1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
9		prid1g 3797	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	4, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	8, 10	sseldd 3241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	1	fveq1d 5674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
13		fvsng 5882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
15	12, 14	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
16		snidg 3720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	1	dmeqd 4960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	eleqtrrd 2314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
23		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	umgredg2en 16121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
26	6, 22, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) ≈ 2o)
27	15, 26	eqbrtrrd 4135	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 27	1hevtxdg1en 16320	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ⊆ wss 3213  𝒫 cpw 3671  {csn 3691  {cpr 3692  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  ‘cfv 5354  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975  Fincfn 6977  1c1 8130  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UMGraphcumgr 16104  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1rfi  16322  eupth2lem3lem4fi  16485