Theorem 2zsupmax 10720

Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2zsupmax	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem 2zsupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
2		zre 8817	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3	2	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
4		zre 8817	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	adantl 272	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
6	5	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
7		maxleb 10712	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )
8	3, 6, 7	syl2an2r 563	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> ( A <_ B <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )
9	1, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B )
10	1	iftrued 3406	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
11	9, 10	eqtr4d 2124	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )
12		maxcom 10699	. . . 4 |- sup ( { B , A } , RR , < ) = sup ( { A , B } , RR , < )
13	5	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B e. RR )
14	3	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> A e. RR )
15		zltnle 8859	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
16	15	ancoms 265	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
17	16	biimpar 292	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B < A )
18	13, 14, 17	ltled 7665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B <_ A )
19		maxleb 10712	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> sup ( { B , A } , RR , < ) = A ) )
20	5, 14, 19	syl2an2r 563	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> ( B <_ A <-> sup ( { B , A } , RR , < ) = A ) )
21	18, 20	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { B , A } , RR , < ) = A )
22	12, 21	syl5eqr 2135	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = A )
23		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> -. A <_ B )
24	23	iffalsed 3409	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
25	22, 24	eqtr4d 2124	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )
26		zdcle 8886	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )
27		exmiddc 783	. . 3 |- (DECID A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
28	26, 27	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
29	11, 25, 28	mpjaodan 748	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290   e. wcel 1439   ifcif 3399   {cpr 3453   class class class wbr 3853   supcsup 6733   RRcr 7412   < clt 7585   <_ cle 7586   ZZcz 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495

This theorem is referenced by: (None)