ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2zsupmax Unicode version

Theorem 2zsupmax 11253
Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
2zsupmax  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem 2zsupmax
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  A  <_  B )
2 zre 9276 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
32adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
4 zre 9276 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
54adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
65adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  B  e.  RR )
7 maxleb 11244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  B ) )
83, 6, 7syl2an2r 595 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  <_  B  <->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  B ) )
91, 8mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  B )
101iftrued 3556 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
119, 10eqtr4d 2225 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  <_  B
)  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
12 maxcom 11231 . . . 4  |-  sup ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )
135adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
143adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
15 zltnle 9318 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
1615ancoms 268 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
1716biimpar 297 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  B  <  A )
1813, 14, 17ltled 8095 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  B  <_  A )
19 maxleb 11244 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  sup ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  A ) )
205, 14, 19syl2an2r 595 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  ( B  <_  A  <->  sup ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  A ) )
2118, 20mpbid 147 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  sup ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  A )
2212, 21eqtr3id 2236 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  A )
23 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  -.  A  <_  B )
2423iffalsed 3559 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
2522, 24eqtr4d 2225 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  A  <_  B )  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )
)
26 zdcle 9348 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <_  B )
27 exmiddc 837 . . 3  |-  (DECID  A  <_  B  ->  ( A  <_  B  \/  -.  A  <_  B ) )
2826, 27syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  \/  -.  A  <_  B
) )
2911, 25, 28mpjaodan 799 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  sup ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160   ifcif 3549   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7000   RRcr 7829    < clt 8011    <_ cle 8012   ZZcz 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7002  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-rp 9673  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator