Theorem 2zsupmax 11000

Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2zsupmax	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem 2zsupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
2		zre 9061	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
4		zre 9061	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
6	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
7		maxleb 10991	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )
8	3, 6, 7	syl2an2r 584	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> ( A <_ B <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )
9	1, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B )
10	1	iftrued 3481	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
11	9, 10	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )
12		maxcom 10978	. . . 4 |- sup ( { B , A } , RR , < ) = sup ( { A , B } , RR , < )
13	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B e. RR )
14	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> A e. RR )
15		zltnle 9103	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
16	15	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
17	16	biimpar 295	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B < A )
18	13, 14, 17	ltled 7884	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B <_ A )
19		maxleb 10991	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> sup ( { B , A } , RR , < ) = A ) )
20	5, 14, 19	syl2an2r 584	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> ( B <_ A <-> sup ( { B , A } , RR , < ) = A ) )
21	18, 20	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { B , A } , RR , < ) = A )
22	12, 21	syl5eqr 2186	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = A )
23		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> -. A <_ B )
24	23	iffalsed 3484	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
25	22, 24	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )
26		zdcle 9130	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )
27		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
28	26, 27	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
29	11, 25, 28	mpjaodan 787	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   ifcif 3474   {cpr 3528   class class class wbr 3929   supcsup 6869   RRcr 7622   < clt 7803   <_ cle 7804   ZZcz 9057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-rp 9445  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774

This theorem is referenced by: (None)