ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2zsupmax GIF version

Theorem 2zsupmax 11372
Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
2zsupmax ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2zsupmax
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 zre 9324 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 9324 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 maxleb 11363 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
83, 6, 7syl2an2r 595 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
91, 8mpbid 147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
101iftrued 3565 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
119, 10eqtr4d 2229 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
12 maxcom 11350 . . . 4 sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )
135adantr 276 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
143adantr 276 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 zltnle 9366 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1615ancoms 268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1716biimpar 297 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
1813, 14, 17ltled 8140 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
19 maxleb 11363 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
205, 14, 19syl2an2r 595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
2118, 20mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴)
2212, 21eqtr3id 2240 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴)
23 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
2423iffalsed 3568 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
2522, 24eqtr4d 2229 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
26 zdcle 9396 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴𝐵)
27 exmiddc 837 . . 3 (DECID 𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
2826, 27syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
2911, 25, 28mpjaodan 799 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2164  ifcif 3558  {cpr 3620   class class class wbr 4030  supcsup 7043  cr 7873   < clt 8056  cle 8057  cz 9320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146
This theorem is referenced by:  plyaddlem1  14926
  Copyright terms: Public domain W3C validator