Theorem 2zsupmax 11237

Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2zsupmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2zsupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		zre 9260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 9260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		maxleb 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
8	3, 6, 7	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
10	1	iftrued 3543	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
11	9, 10	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
12		maxcom 11215	. . . 4 ⊢ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )
13	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		zltnle 9302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
16	15	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	biimpar 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
18	13, 14, 17	ltled 8079	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
19		maxleb 11228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
20	5, 14, 19	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
21	18, 20	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴)
22	12, 21	eqtr3id 2224	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴)
23		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
24	23	iffalsed 3546	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
25	22, 24	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
26		zdcle 9332	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
27		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	26, 27	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	11, 25, 28	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ifcif 3536  {cpr 3595   class class class wbr 4005  supcsup 6984  ℝcr 7813   < clt 7995   ≤ cle 7996  ℤcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011

This theorem is referenced by: (None)