Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2zsupmax GIF version

Theorem 2zsupmax 11107
 Description: Two ways to express the maximum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
2zsupmax ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2zsupmax
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 zre 9154 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 9154 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 maxleb 11098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
83, 6, 7syl2an2r 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
91, 8mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
101iftrued 3512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
119, 10eqtr4d 2193 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
12 maxcom 11085 . . . 4 sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )
135adantr 274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
143adantr 274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 zltnle 9196 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1615ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1716biimpar 295 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
1813, 14, 17ltled 7977 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
19 maxleb 11098 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
205, 14, 19syl2an2r 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 ↔ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴))
2118, 20mpbid 146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐴)
2212, 21syl5eqr 2204 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴)
23 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
2423iffalsed 3515 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
2522, 24eqtr4d 2193 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
26 zdcle 9223 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴𝐵)
27 exmiddc 822 . . 3 (DECID 𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
2826, 27syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
2911, 25, 28mpjaodan 788 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ifcif 3505  {cpr 3561   class class class wbr 3965  supcsup 6918  ℝcr 7714   < clt 7895   ≤ cle 7896  ℤcz 9150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-sup 6920  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator