ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-suploc GIF version

Theorem axpre-suploc 7901
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum.

Locatedness here means that given 𝑥 < 𝑦, either there is an element of the set greater than 𝑥, or 𝑦 is an upper bound.

This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-suploc 7932. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jan-2024.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-suploc (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axpre-suploc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 eleq1w 2238 . . . 4 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝐴𝑑𝐴))
32cbvexv 1918 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑑 𝑑𝐴)
41, 3sylib 122 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑑 𝑑𝐴)
5 simplll 533 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 simpr 110 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → 𝑑𝐴)
7 simplrl 535 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
8 breq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏 < 𝑎𝑏 < 𝑥))
98ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥))
109cbvrexv 2705 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥)
11 breq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
1211cbvralv 2704 . . . . . . 7 (∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1312rexbii 2484 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1410, 13bitri 184 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
157, 14sylibr 134 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎)
16 simplrr 536 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
17 breq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑏𝑥 < 𝑏))
18 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑐𝑥 < 𝑐))
1918rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐))
2019orbi1d 791 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ((∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏) ↔ (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)))
2117, 20imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ (𝑥 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏))))
22 breq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑏𝑥 < 𝑦))
23 breq2 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑦))
2423ralbidv 2477 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦))
2524orbi2d 790 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏) ↔ (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)))
2622, 25imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦))))
2721, 26cbvral2v 2717 . . . . . 6 (∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)))
28 breq2 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑐𝑥 < 𝑧))
2928cbvrexv 2705 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧)
30 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
3130cbvralv 2704 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
3229, 31orbi12i 764 . . . . . . . 8 ((∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3332imbi2i 226 . . . . . . 7 ((𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
34332ralbii 2485 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3527, 34bitri 184 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3616, 35sylibr 134 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)))
37 eqid 2177 . . . 4 {𝑤R ∣ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ 𝐴} = {𝑤R ∣ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ 𝐴}
385, 6, 15, 36, 37axpre-suploclemres 7900 . . 3 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
3917notbid 667 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑏))
4039ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏))
418imbi1d 231 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4241ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4340, 42anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐))))
4443cbvrexv 2705 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4522notbid 667 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (¬ 𝑥 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4645cbvralv 2704 . . . . . . 7 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
47 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑐𝑦 < 𝑐))
4847rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐))
4911, 48imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5049cbvralv 2704 . . . . . . 7 (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐))
5146, 50anbi12i 460 . . . . . 6 ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5251rexbii 2484 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5344, 52bitri 184 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
54 breq2 4008 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑐𝑦 < 𝑧))
5554cbvrexv 2705 . . . . . . . 8 (∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
5655imbi2i 226 . . . . . . 7 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
5756ralbii 2483 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
5857anbi2i 457 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5958rexbii 2484 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6053, 59bitri 184 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6138, 60sylib 122 . 2 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
624, 61exlimddv 1898 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3130  cop 3596   class class class wbr 4004  Rcnr 7296  0Rc0r 7297  cr 7810   < cltrr 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-ltr 7729  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732  df-r 7821  df-lt 7824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator