ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-suploc GIF version

Theorem axpre-suploc 7857
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum.

Locatedness here means that given 𝑥 < 𝑦, either there is an element of the set greater than 𝑥, or 𝑦 is an upper bound.

This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-suploc 7888. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jan-2024.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-suploc (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axpre-suploc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 525 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 eleq1w 2231 . . . 4 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝐴𝑑𝐴))
32cbvexv 1911 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑑 𝑑𝐴)
41, 3sylib 121 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑑 𝑑𝐴)
5 simplll 528 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 simpr 109 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → 𝑑𝐴)
7 simplrl 530 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
8 breq2 3991 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏 < 𝑎𝑏 < 𝑥))
98ralbidv 2470 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥))
109cbvrexv 2697 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥)
11 breq1 3990 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
1211cbvralv 2696 . . . . . . 7 (∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1312rexbii 2477 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1410, 13bitri 183 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
157, 14sylibr 133 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏 < 𝑎)
16 simplrr 531 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
17 breq1 3990 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑏𝑥 < 𝑏))
18 breq1 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑐𝑥 < 𝑐))
1918rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐))
2019orbi1d 786 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ((∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏) ↔ (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)))
2117, 20imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ (𝑥 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏))))
22 breq2 3991 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑏𝑥 < 𝑦))
23 breq2 3991 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑦))
2423ralbidv 2470 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦))
2524orbi2d 785 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏) ↔ (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)))
2622, 25imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦))))
2721, 26cbvral2v 2709 . . . . . 6 (∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)))
28 breq2 3991 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑐𝑥 < 𝑧))
2928cbvrexv 2697 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧)
30 breq1 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
3130cbvralv 2696 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
3229, 31orbi12i 759 . . . . . . . 8 ((∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3332imbi2i 225 . . . . . . 7 ((𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
34332ralbii 2478 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑥 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3527, 34bitri 183 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3616, 35sylibr 133 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → (∃𝑐𝐴 𝑎 < 𝑐 ∨ ∀𝑐𝐴 𝑐 < 𝑏)))
37 eqid 2170 . . . 4 {𝑤R ∣ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ 𝐴} = {𝑤R ∣ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ 𝐴}
385, 6, 15, 36, 37axpre-suploclemres 7856 . . 3 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
3917notbid 662 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑏))
4039ralbidv 2470 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏))
418imbi1d 230 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4241ralbidv 2470 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4340, 42anbi12d 470 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐))))
4443cbvrexv 2697 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)))
4522notbid 662 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → (¬ 𝑥 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4645cbvralv 2696 . . . . . . 7 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
47 breq1 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑐𝑦 < 𝑐))
4847rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐))
4911, 48imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5049cbvralv 2696 . . . . . . 7 (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐))
5146, 50anbi12i 457 . . . . . 6 ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5251rexbii 2477 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
5344, 52bitri 183 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)))
54 breq2 3991 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑐𝑦 < 𝑧))
5554cbvrexv 2697 . . . . . . . 8 (∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
5655imbi2i 225 . . . . . . 7 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
5756ralbii 2476 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
5857anbi2i 454 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5958rexbii 2477 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑐𝐴 𝑦 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6053, 59bitri 183 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
6138, 60sylib 121 . 2 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) ∧ 𝑑𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
624, 61exlimddv 1891 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  wex 1485  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  {crab 2452  wss 3121  cop 3584   class class class wbr 3987  Rcnr 7252  0Rc0r 7253  cr 7766   < cltrr 7771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-1o 6393  df-2o 6394  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6511  df-ec 6513  df-qs 6517  df-ni 7259  df-pli 7260  df-mi 7261  df-lti 7262  df-plpq 7299  df-mpq 7300  df-enq 7302  df-nqqs 7303  df-plqqs 7304  df-mqqs 7305  df-1nqqs 7306  df-rq 7307  df-ltnqqs 7308  df-enq0 7379  df-nq0 7380  df-0nq0 7381  df-plq0 7382  df-mq0 7383  df-inp 7421  df-i1p 7422  df-iplp 7423  df-imp 7424  df-iltp 7425  df-enr 7681  df-nr 7682  df-plr 7683  df-mr 7684  df-ltr 7685  df-0r 7686  df-1r 7687  df-m1r 7688  df-r 7777  df-lt 7780
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator