Theorem ballotfilemefi 13220

Description: 𝐸 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemefi	⊢ 𝐸 ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilemefi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
2		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
3		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4		ballotfilem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
5	2, 3, 4	ballotfilemofi 13202	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ Fin
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑂 ∈ Fin)
7		1z 9653	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		nnaddcl 9307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
9	2, 3, 8	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
10	9	nnzi 9648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
11		fzfig 10850	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
12	7, 10, 11	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
13		0z 9638	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
15		ballotth.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
16		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝑂)
17		elfzelz 10411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19	2, 3, 4, 14, 15, 16, 18	ballotfilemfelz 13213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ∈ ℤ)
20		zdclt 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ∈ ℤ) → DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
21	13, 19, 20	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
22	21	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → ∀𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
23		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) = ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
24	23	breq2d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)))
25	24	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)))
26	25	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
27	22, 26	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
28		dcfi 7309	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)) → DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
29	12, 27, 28	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
30	29	rgen 2603	. . . . 5 ⊢ ∀𝑐 ∈ 𝑂 DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)
31	30	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ 𝑂 DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
32	6, 31	ssfirab 7238	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)} ∈ Fin)
33	32	mptru 1411	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)} ∈ Fin
34	1, 33	eqeltri 2311	1 ⊢ 𝐸 ∈ Fin

Syntax hints:   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  ballotfilemafi  13221  ballotfilembfi  13222  ballotfilemth  13264