Theorem ballotfilemefi 13181

Description: 𝐸 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemefi	⊢ 𝐸 ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilemefi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
2		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
3		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4		ballotfilem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
5	2, 3, 4	ballotfilemofi 13163	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ Fin
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑂 ∈ Fin)
7		1z 9620	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		nnaddcl 9274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
9	2, 3, 8	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
10	9	nnzi 9615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
11		fzfig 10816	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
12	7, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
13		0z 9605	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
15		ballotth.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
16		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝑂)
17		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19	2, 3, 4, 14, 15, 16, 18	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ∈ ℤ)
20		zdclt 9672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ∈ ℤ) → DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
21	13, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
22	21	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → ∀𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗))
23		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) = ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
24	23	breq2d 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)))
25	24	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)))
26	25	cbvralv 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
27	22, 26	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
28		dcfi 7281	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))DECID 0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)) → DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
29	12, 27, 28	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑂 → DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
30	29	rgen 2597	. . . . 5 ⊢ ∀𝑐 ∈ 𝑂 DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)
31	30	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ 𝑂 DECID ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖))
32	6, 31	ssfirab 7210	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)} ∈ Fin)
33	32	mptru 1407	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)} ∈ Fin
34	1, 33	eqeltri 2307	1 ⊢ 𝐸 ∈ Fin

Syntax hints:   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ∖ cdif 3211   ∩ cin 3213  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   − cmin 8460   / cdiv 8963  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilemafi  13182  ballotfilembfi  13183  ballotfilemth  13225