Theorem pfxccatin12lem3 11312

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 11313. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem3	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfzo0 10420	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) )
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = (♯ ` A )
4		lencl 11116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
5		elfz2nn0 10346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
6		nn0addcl 9436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( K + M ) e. NN0 )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
8	7	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
9	8	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
10	9	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
11	10	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. NN0 )
12		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( L - M ) e. NN <-> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 < ( L - M ) ) )
13		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
14		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
15		posdif 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
17		elnn0z 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
18		0re 8178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- 0 e. RR
19		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
20		lelttr 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
22		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
23	22	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
24		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> L e. NN )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( L e. NN0 -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
28	21, 27	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> L e. NN ) )
29	28	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 <_ M -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
30	29	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
31	17, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> L e. NN ) )
33	16, 32	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < ( L - M ) -> L e. NN ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
35	12, 34	simplbiim 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( L - M ) e. NN -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
36	35	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
38	37	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> L e. NN )
40		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> K e. RR )
42	13	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> M e. RR )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> M e. RR )
44	14	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> L e. RR )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
46	41, 43, 45	ltaddsubd 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> ( ( K + M ) < L <-> K < ( L - M ) ) )
47	46	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K < ( L - M ) -> ( K + M ) < L ) ) )
48	47	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( K < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) ) )
49	48	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
50	49	3adant2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) < L )
52	11, 39, 51	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
54	53	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
55	5, 54	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
56	55	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
57	56	2a1i 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
58		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
59		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> L e. NN ) )
60		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) < (♯ ` A ) <-> ( K + M ) < L ) )
61	59, 60	3anbi23d 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
62	61	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
63	62	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) <-> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
64	57, 58, 63	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
65	64	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
66	3, 4, 65	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
68	67	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
69	68	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
70	2, 69	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
72	71	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
73		elfzo0 10420	. . . . . 6 |- ( ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
74	72, 73	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) )
75		df-3an 1006	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
76	1, 74, 75	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
77		ccatval1 11173	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
78	76, 77	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
79	3	pfxccatin12lem2c 11310	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
80		simpl 109	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
81		swrdfv 11233	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
82	79, 80, 81	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
83		simplll 535	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> A e. Word V )
84		simplrl 537	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
85	3	eleq1i 2297	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
86		elnn0uz 9793	. . . . . . . . 9 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87		eluzfz2 10266	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> L e. ( 0 ... L ) )
88	86, 87	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... L ) )
89	3	oveq2i 6028	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... L ) = ( 0 ... (♯ ` A ) )
90	88, 89	eleqtrdi 2324	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
91	85, 90	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
92	4, 91	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
93	92	ad3antrrr 492	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
94		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( L - M ) ) )
95		swrdfv 11233	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) )
98	97	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   ++ cconcat 11166   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-concat 11167  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11313