Theorem pfxccatin12lem3 11223

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 11224. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem3	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfzo0 10343	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) )
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = (♯ ` A )
4		lencl 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
5		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
6		nn0addcl 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( K + M ) e. NN0 )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
8	7	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
9	8	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
10	9	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
11	10	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. NN0 )
12		elnnz 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( L - M ) e. NN <-> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 < ( L - M ) ) )
13		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
14		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
15		posdif 8563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
17		elnn0z 9420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
18		0re 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- 0 e. RR
19		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
20		lelttr 8196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
22		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
23	22	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
24		elnnz 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> L e. NN )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( L e. NN0 -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
28	21, 27	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> L e. NN ) )
29	28	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 <_ M -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
30	29	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
31	17, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> L e. NN ) )
33	16, 32	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < ( L - M ) -> L e. NN ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
35	12, 34	simplbiim 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( L - M ) e. NN -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
36	35	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
38	37	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> L e. NN )
40		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> K e. RR )
42	13	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> M e. RR )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> M e. RR )
44	14	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> L e. RR )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
46	41, 43, 45	ltaddsubd 8653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> ( ( K + M ) < L <-> K < ( L - M ) ) )
47	46	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K < ( L - M ) -> ( K + M ) < L ) ) )
48	47	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( K < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) ) )
49	48	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
50	49	3adant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) < L )
52	11, 39, 51	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
54	53	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
55	5, 54	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
56	55	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
57	56	2a1i 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
58		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
59		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> L e. NN ) )
60		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) < (♯ ` A ) <-> ( K + M ) < L ) )
61	59, 60	3anbi23d 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
62	61	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
63	62	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) <-> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
64	57, 58, 63	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
65	64	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
66	3, 4, 65	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
68	67	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
69	68	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
70	2, 69	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
72	71	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
73		elfzo0 10343	. . . . . 6 |- ( ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
74	72, 73	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) )
75		df-3an 983	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
76	1, 74, 75	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
77		ccatval1 11091	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
78	76, 77	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
79	3	pfxccatin12lem2c 11221	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
80		simpl 109	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
81		swrdfv 11144	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
82	79, 80, 81	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
83		simplll 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> A e. Word V )
84		simplrl 535	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
85	3	eleq1i 2273	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
86		elnn0uz 9721	. . . . . . . . 9 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87		eluzfz2 10189	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> L e. ( 0 ... L ) )
88	86, 87	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... L ) )
89	3	oveq2i 5978	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... L ) = ( 0 ... (♯ ` A ) )
90	88, 89	eleqtrdi 2300	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
91	85, 90	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
92	4, 91	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
93	92	ad3antrrr 492	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
94		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( L - M ) ) )
95		swrdfv 11144	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1253	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2250	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) )
98	97	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957  Word cword 11031   ++ cconcat 11084   substr csubstr 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-concat 11085  df-substr 11137

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11224