Theorem pfxccatin12lem3 11259

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 11260. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem3	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfzo0 10378	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) )
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = (♯ ` A )
4		lencl 11070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
5		elfz2nn0 10304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
6		nn0addcl 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( K + M ) e. NN0 )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
8	7	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
9	8	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
10	9	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
11	10	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. NN0 )
12		elnnz 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( L - M ) e. NN <-> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 < ( L - M ) ) )
13		nn0re 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
14		nn0re 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
15		posdif 8598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
17		elnn0z 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
18		0re 8142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- 0 e. RR
19		zre 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
20		lelttr 8231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
22		nn0z 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
23	22	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
24		elnnz 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> L e. NN )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( L e. NN0 -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
28	21, 27	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> L e. NN ) )
29	28	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 <_ M -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
30	29	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
31	17, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> L e. NN ) )
33	16, 32	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < ( L - M ) -> L e. NN ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
35	12, 34	simplbiim 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( L - M ) e. NN -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
36	35	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
38	37	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> L e. NN )
40		nn0re 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> K e. RR )
42	13	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> M e. RR )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> M e. RR )
44	14	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> L e. RR )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
46	41, 43, 45	ltaddsubd 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> ( ( K + M ) < L <-> K < ( L - M ) ) )
47	46	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K < ( L - M ) -> ( K + M ) < L ) ) )
48	47	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( K < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) ) )
49	48	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
50	49	3adant2 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) < L )
52	11, 39, 51	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
54	53	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
55	5, 54	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
56	55	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
57	56	2a1i 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
58		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
59		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> L e. NN ) )
60		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) < (♯ ` A ) <-> ( K + M ) < L ) )
61	59, 60	3anbi23d 1349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
62	61	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
63	62	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) <-> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
64	57, 58, 63	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
65	64	eqcoms 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) ) )
66	3, 4, 65	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) ) )
68	67	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
69	68	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
70	2, 69	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) ) )
72	71	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
73		elfzo0 10378	. . . . . 6 |- ( ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < (♯ ` A ) ) )
74	72, 73	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) )
75		df-3an 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
76	1, 74, 75	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) )
77		ccatval1 11127	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
78	76, 77	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
79	3	pfxccatin12lem2c 11257	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
80		simpl 109	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
81		swrdfv 11180	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
82	79, 80, 81	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
83		simplll 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> A e. Word V )
84		simplrl 535	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
85	3	eleq1i 2295	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
86		elnn0uz 9756	. . . . . . . . 9 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87		eluzfz2 10224	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> L e. ( 0 ... L ) )
88	86, 87	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... L ) )
89	3	oveq2i 6011	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... L ) = ( 0 ... (♯ ` A ) )
90	88, 89	eleqtrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
91	85, 90	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
92	4, 91	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
93	92	ad3antrrr 492	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
94		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( L - M ) ) )
95		swrdfv 11180	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1274	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) )
98	97	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   + caddc 7998   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121  df-substr 11173

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11260