ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climconst GIF version

Theorem climconst 11087
Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climconst.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3 (𝜑𝐹𝑉)
climconst.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climconst (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climconst.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 9360 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 climconst.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2234 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
65adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑍)
7 climconst.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87subidd 8081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
98fveq2d 5429 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
10 abs0 10858 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
119, 10eqtrdi 2189 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
1211adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
13 rpgt0 9478 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1413adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
1512, 14eqbrtrd 3954 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
1615ralrimivw 2507 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
17 fveq2 5425 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
1817, 4eqtr4di 2191 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
1918raleqdv 2633 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2019rspcev 2790 . . . 4 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
216, 16, 20syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
2221ralrimiva 2506 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
23 climconst.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
24 climconst.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
257adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
264, 1, 23, 24, 7, 25clim2c 11081 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2722, 26mpbird 166 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3933  cfv 5127  (class class class)co 5778  cc 7638  0cc0 7640   < clt 7820  cmin 7953  cz 9074  cuz 9346  +crp 9466  abscabs 10797  cli 11075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-rp 9467  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-cj 10642  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-clim 11076
This theorem is referenced by:  climconst2  11088  fsum3cvg  11175  fproddccvg  11369
  Copyright terms: Public domain W3C validator