Theorem climconst 11873

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconst.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climconst.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		climconst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ 𝑍)
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subidd 8483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
9	8	fveq2d 5646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
10		abs0 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
13		rpgt0 9905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
15	12, 14	eqbrtrd 4111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
16	15	ralrimivw 2605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
17		fveq2 5642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 4	eqtr4di 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
19	18	raleqdv 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
20	19	rspcev 2909	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
21	6, 16, 20	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
22	21	ralrimiva 2604	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
23		climconst.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		climconst.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 11867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
27	22, 26	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037   < clt 8219   − cmin 8355  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ℝ⁺crp 9893  abscabs 11580   ⇝ cli 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862

This theorem is referenced by:  climconst2  11874  fsum3cvg  11962  fproddccvg  12156  fprodntrivap  12168