ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climconst GIF version

Theorem climconst 11317
Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climconst.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3 (𝜑𝐹𝑉)
climconst.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climconst (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climconst.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 9561 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 climconst.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2283 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
65adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑍)
7 climconst.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87subidd 8275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
98fveq2d 5534 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
10 abs0 11086 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
119, 10eqtrdi 2238 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
1211adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
13 rpgt0 9684 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
1512, 14eqbrtrd 4040 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
1615ralrimivw 2564 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
17 fveq2 5530 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
1817, 4eqtr4di 2240 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
1918raleqdv 2692 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2019rspcev 2856 . . . 4 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
216, 16, 20syl2anc 411 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
2221ralrimiva 2563 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥)
23 climconst.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
24 climconst.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
257adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
264, 1, 23, 24, 7, 25clim2c 11311 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑥))
2722, 26mpbird 167 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  cc 7828  0cc0 7830   < clt 8011  cmin 8147  cz 9272  cuz 9547  +crp 9672  abscabs 11025  cli 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-rp 9673  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306
This theorem is referenced by:  climconst2  11318  fsum3cvg  11405  fproddccvg  11599  fprodntrivap  11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator