Theorem climconst 12039

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconst.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climconst.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		climconst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ 𝑍)
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subidd 8619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
9	8	fveq2d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
10		abs0 11807	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
13		rpgt0 10049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
15	12, 14	eqbrtrd 4150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
16	15	ralrimivw 2624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
17		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 4	eqtr4di 2289	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
19	18	raleqdv 2755	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
20	19	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
21	6, 16, 20	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
22	21	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
23		climconst.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		climconst.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 12033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
27	22, 26	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173   < clt 8354   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℝ⁺crp 10037  abscabs 11746   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028

This theorem is referenced by:  climconst2  12040  fsum3cvg  12128  fproddccvg  12322  fprodntrivap  12334