Theorem climconst 11436

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconst.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconst.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climconst.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climconst.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climconst

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		climconst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ 𝑍)
7		climconst.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subidd 8320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
9	8	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = (abs‘0))
10		abs0 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
13		rpgt0 9734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
15	12, 14	eqbrtrd 4052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
16	15	ralrimivw 2568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
17		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 4	eqtr4di 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
19	18	raleqdv 2696	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
20	19	rspcev 2865	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
21	6, 16, 20	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
22	21	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥)
23		climconst.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		climconst.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	4, 1, 23, 24, 7, 25	clim2c 11430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑥))
27	22, 26	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874   < clt 8056   − cmin 8192  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144   ⇝ cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  climconst2  11437  fsum3cvg  11524  fproddccvg  11718  fprodntrivap  11730