Theorem dvdsgcdb 12702

Description: Biconditional form of dvdsgcd 12701. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsgcdb	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ K || N ) <-> K || ( M gcd N ) ) )

Proof of Theorem dvdsgcdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsgcd 12701	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( M gcd N ) ) )
2		gcddvds 12652	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
3	2	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || M )
4	3	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || M )
5		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6		gcdcl 12655	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
7	6	nn0zd 9694	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
8	7	3adant1 1042	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
9		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10		dvdstr 12507	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( K || ( M gcd N ) /\ ( M gcd N ) || M ) -> K || M ) )
11	5, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || ( M gcd N ) /\ ( M gcd N ) || M ) -> K || M ) )
12	4, 11	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || ( M gcd N ) -> K || M ) )
13	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || N )
14	13	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || N )
15		dvdstr 12507	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || ( M gcd N ) /\ ( M gcd N ) || N ) -> K || N ) )
16	8, 15	syld3an2 1321	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || ( M gcd N ) /\ ( M gcd N ) || N ) -> K || N ) )
17	14, 16	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || ( M gcd N ) -> K || N ) )
18	12, 17	jcad 307	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || ( M gcd N ) -> ( K || M /\ K || N ) ) )
19	1, 18	impbid 129	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ K || N ) <-> K || ( M gcd N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   ZZcz 9573   || cdvds 12466   gcd cgcd 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-gcd 12643

This theorem is referenced by:  gcdass  12704  divgcdodd  12833  pythagtriplem11  12965  pythagtriplem13  12967  lgsne0  15898