ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efmival GIF version

Theorem efmival 11350
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efmival (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efmival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7679 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulneg12 8123 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
31, 2mpan 418 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
43fveq2d 5391 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
5 negcl 7926 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6 efival 11349 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
8 cosneg 11344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
9 sinneg 11343 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
109oveq2d 5756 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
11 sincl 11323 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12 mulneg2 8122 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
131, 11, 12sylancr 408 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
1410, 13eqtrd 2148 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
158, 14oveq12d 5758 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
16 coscl 11324 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17 mulcl 7711 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
181, 11, 17sylancr 408 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
1916, 18negsubd 8043 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
2015, 19eqtrd 2148 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
217, 20eqtrd 2148 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
224, 21eqtrd 2148 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wcel 1463  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589  cmin 7897  -cneg 7898  expce 11258  sincsin 11260  cosccos 11261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-ico 9628  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-fac 10423  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074  df-ef 11264  df-sin 11266  df-cos 11267
This theorem is referenced by:  sinadd  11353  cosadd  11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator