Theorem eupth2lem3lem2fi 16693

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16700. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
trlsegvdegfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
trlsegvdegfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
4		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		trlsegvdeg.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
13		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
15		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	trlsegvdeglem7 16690	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
17		trlsegvdegfi.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
18	11, 17	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) ∈ Fin)
19	8, 11	eleqtrrd 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
20		df-vtx 16238	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
21	20	mptrcl 5785	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌) → 𝑌 ∈ V)
22	19, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
23	6	funfnd 5406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	5	trlf1 16612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
25		f1f 5596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
26	9, 24, 25	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
27	26, 7	ffvelcdmd 5838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
28		fnressn 5895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
29	23, 27, 28	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
30	14, 29	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
31		trlsegvdegfi.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
32	4, 5, 22, 11, 30, 31	upgrspan 16503	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ UPGraph)
33	1, 2, 3, 16, 18, 32	vtxdgfif 16517	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
34	33, 19	ffvelcdmd 5838	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638  {csn 3708  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128   × cxp 4770  dom cdm 4772   ↾ cres 4774   “ cima 4775  Fun wfun 5369   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  –1-1→wf1 5372  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1^st c1st 6366  Fincfn 7016  0cc0 8173  ℕ₀cn0 9546  ...cfz 10394  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Basecbs 13335  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UPGraphcupgr 16315  VtxDegcvtxdg 16510  Trailsctrls 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-uhgrm 16293  df-upgren 16317  df-subgr 16478  df-vtxdg 16511  df-wlks 16542  df-trls 16605

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16694