Theorem eupth2lem3lem2fi 16451

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16458. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
trlsegvdegfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
trlsegvdegfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
4		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		trlsegvdeg.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
13		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
15		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	trlsegvdeglem7 16448	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
17		trlsegvdegfi.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
18	11, 17	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) ∈ Fin)
19	8, 11	eleqtrrd 2312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
20		df-vtx 15996	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
21	20	mptrcl 5759	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌) → 𝑌 ∈ V)
22	19, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
23	6	funfnd 5382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	5	trlf1 16370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
25		f1f 5572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
26	9, 24, 25	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
27	26, 7	ffvelcdmd 5812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
28		fnressn 5869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
29	23, 27, 28	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
30	14, 29	eqtr4d 2268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
31		trlsegvdegfi.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
32	4, 5, 22, 11, 30, 31	upgrspan 16261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ UPGraph)
33	1, 2, 3, 16, 18, 32	vtxdgfif 16275	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
34	33, 19	ffvelcdmd 5812	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ifcif 3619  {csn 3688  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   × cxp 4746  dom cdm 4748   ↾ cres 4750   “ cima 4751  Fun wfun 5345   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  –1-1→wf1 5348  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  1^st c1st 6331  Fincfn 6974  0cc0 8123  ℕ₀cn0 9492  ...cfz 10338  ..^cfzo 10472  ♯chash 11133  Basecbs 13201  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UPGraphcupgr 16073  VtxDegcvtxdg 16268  Trailsctrls 16362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-xadd 10102  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-uhgrm 16051  df-upgren 16075  df-subgr 16236  df-vtxdg 16269  df-wlks 16300  df-trls 16363

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16452