Theorem eupth2lem3lem2fi 16710

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16717. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
trlsegvdegfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
trlsegvdegfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
4		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		trlsegvdeg.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
13		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
15		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	trlsegvdeglem7 16707	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
17		trlsegvdegfi.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
18	11, 17	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) ∈ Fin)
19	8, 11	eleqtrrd 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
20		df-vtx 16255	. . . . . 6 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
21	20	mptrcl 5788	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌) → 𝑌 ∈ V)
22	19, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
23	6	funfnd 5408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
24	5	trlf1 16629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
25		f1f 5598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
26	9, 24, 25	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
27	26, 7	ffvelcdmd 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
28		fnressn 5901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
29	23, 27, 28	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
30	14, 29	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
31		trlsegvdegfi.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
32	4, 5, 22, 11, 30, 31	upgrspan 16520	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ UPGraph)
33	1, 2, 3, 16, 18, 32	vtxdgfif 16534	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
34	33, 19	ffvelcdmd 5844	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   × cxp 4772  dom cdm 4774   ↾ cres 4776   “ cima 4777  Fun wfun 5371   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1^st c1st 6372  Fincfn 7022  0cc0 8179  ℕ₀cn0 9563  ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Basecbs 13352  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  VtxDegcvtxdg 16527  Trailsctrls 16621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-edg 16299  df-uhgrm 16310  df-upgren 16334  df-subgr 16495  df-vtxdg 16528  df-wlks 16559  df-trls 16622

This theorem is used by:  eupth2lem3lem3fi  16711