ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expap0 GIF version

Theorem expap0 9820
Description: Positive integer exponentiation is apart from zero iff its mantissa is apart from zero. That it is easier to prove this first, and then prove expeq0 9821 in terms of it, rather than the other way around, is perhaps an illustration of the maxim "In constructive analysis, the apartness is more basic [ than ] equality." ([Geuvers], p. 1). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expap0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem expap0
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5597 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑1))
21breq1d 3821 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑1) # 0))
32bibi1d 231 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
43imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
5 oveq2 5597 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65breq1d 3821 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴𝑘) # 0))
76bibi1d 231 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
87imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
9 oveq2 5597 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109breq1d 3821 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0))
1110bibi1d 231 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
13 oveq2 5597 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413breq1d 3821 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴𝑁) # 0))
1514bibi1d 231 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
1615imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
17 exp1 9796 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817breq1d 3821 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
19 nnnn0 8570 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expp1 9797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2120breq1d 3821 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2221ancoms 264 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2319, 22sylan 277 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2423adantr 270 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
25 simplr 497 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2619ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27 expcl 9808 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2928, 25mulap0bd 8022 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
30 anbi1 454 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
3130adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
3224, 29, 313bitr2d 214 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
33 anidm 388 . . . . . 6 ((𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ 𝐴 # 0)
3432, 33syl6bb 194 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3534exp31 356 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
3635a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
374, 8, 12, 16, 18, 36nnind 8330 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
3837impcom 123 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  cc 7249  0cc0 7251  1c1 7252   + caddc 7254   · cmul 7256   # cap 7956  cn 8314  0cn0 8563  cexp 9789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-iseq 9739  df-iexp 9790
This theorem is referenced by:  expeq0  9821  abs00ap  10320
  Copyright terms: Public domain W3C validator