Theorem expap0 10799

Description: Positive integer exponentiation is apart from zero iff its base is apart from zero. That it is easier to prove this first, and then prove expeq0 10800 in terms of it, rather than the other way around, is perhaps an illustration of the maxim "In constructive analysis, the apartness is more basic [ than ] equality." (Remark of [Geuvers], p. 1). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expap0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem expap0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑1) # 0))
3	2	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
5		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑𝑘) # 0))
7	6	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
9		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0))
11	10	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
13		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq1d 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑𝑁) # 0))
15	14	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
17		exp1 10775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	breq1d 4093	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
19		nnnn0 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 10776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	breq1d 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
23	19, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
25		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27		expcl 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28, 25	mulap0bd 8812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
30		anbi1 466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
32	24, 29, 31	3bitr2d 216	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
33		anidm 396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ 𝐴 # 0)
34	32, 33	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
35	34	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
36	35	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
37	4, 8, 12, 16, 18, 36	nnind 9134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
38	37	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   # cap 8736  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  expeq0  10800  abs00ap  11581