Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expap0 GIF version

Theorem expap0 10330
 Description: Positive integer exponentiation is apart from zero iff its mantissa is apart from zero. That it is easier to prove this first, and then prove expeq0 10331 in terms of it, rather than the other way around, is perhaps an illustration of the maxim "In constructive analysis, the apartness is more basic [ than ] equality." (Remark of [Geuvers], p. 1). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expap0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem expap0
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑1))
21breq1d 3939 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑1) # 0))
32bibi1d 232 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
43imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
5 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65breq1d 3939 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴𝑘) # 0))
76bibi1d 232 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
87imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
9 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109breq1d 3939 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0))
1110bibi1d 232 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
13 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413breq1d 3939 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ (𝐴𝑁) # 0))
1514bibi1d 232 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
1615imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
17 exp1 10306 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817breq1d 3939 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
19 nnnn0 8991 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expp1 10307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2120breq1d 3939 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2221ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2319, 22sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
2423adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
25 simplr 519 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2619ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27 expcl 10318 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2928, 25mulap0bd 8425 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) # 0))
30 anbi1 461 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
3130adantl 275 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
3224, 29, 313bitr2d 215 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
33 anidm 393 . . . . . 6 ((𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ 𝐴 # 0)
3432, 33syl6bb 195 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3534exp31 361 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
3635a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
374, 8, 12, 16, 18, 36nnind 8743 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
3837impcom 124 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   # cap 8350  ℕcn 8727  ℕ0cn0 8984  ↑cexp 10299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226  df-exp 10300 This theorem is referenced by:  expeq0  10331  abs00ap  10841
 Copyright terms: Public domain W3C validator