Theorem expap0 10819

Description: Positive integer exponentiation is apart from zero iff its base is apart from zero. That it is easier to prove this first, and then prove expeq0 10820 in terms of it, rather than the other way around, is perhaps an illustration of the maxim "In constructive analysis, the apartness is more basic [ than ] equality." (Remark of [Geuvers], p. 1). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expap0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem expap0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6019	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	breq1d 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑1) # 0))
3	2	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
5		oveq2 6019	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq1d 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑𝑘) # 0))
7	6	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
9		oveq2 6019	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq1d 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0))
11	10	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
13		oveq2 6019	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq1d 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ (𝐴↑𝑁) # 0))
15	14	bibi1d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
17		exp1 10795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	breq1d 4094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
19		nnnn0 9397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 10796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	breq1d 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
23	19, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
25		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27		expcl 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28, 25	mulap0bd 8825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # 0))
30		anbi1 466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (((𝐴↑𝑘) # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
32	24, 29, 31	3bitr2d 216	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0)))
33		anidm 396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0) ↔ 𝐴 # 0)
34	32, 33	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
35	34	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
36	35	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) # 0 ↔ 𝐴 # 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # 0 ↔ 𝐴 # 0))))
37	4, 8, 12, 16, 18, 36	nnind 9147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0)))
38	37	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011  ℂcc 8018  0cc0 8020  1c1 8021   + caddc 8023   · cmul 8025   # cap 8749  ℕcn 9131  ℕ₀cn0 9390  ↑cexp 10788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-seqfrec 10698  df-exp 10789

This theorem is referenced by:  expeq0  10820  abs00ap  11610