Theorem frec2uzrand 10497

Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 10491). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		zex 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4		vex 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	fvex 5578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6	5	ax-gen 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7		frecfnom 6459	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12		fvelrnb 5608	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
14		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17		eleq1 2259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	16, 17	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	18	rexlimdva 2614	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	13, 19	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
21		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
22		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
23		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24, 9	frec2uz0d 10491	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26		peano1 4630	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fnfvelrn 5694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
28	11, 26, 27	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
29	25, 28	eqeltrrd 2274	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30		eluzel2 9606	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
32		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
33	31, 32	sylan9eq 2249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34		peano2 4631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35		fnfvelrn 5694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
36	11, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
38	33, 37	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
39	38	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
40	39	rexlimdva 2614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
41	13, 40	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9662	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
44	20, 43	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
45	44	eqrdv 2194	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
46	1, 45	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ∅c0 3450   ↦ cmpt 4094  suc csuc 4400  ωcom 4626  ran crn 4664   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448  1c1 7880   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10498