Theorem frec2uzrand 10398

Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 10392). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		zex 9256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4		vex 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	fvex 5532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6	5	ax-gen 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7		frecfnom 6397	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12		fvelrnb 5560	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
14		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17		eleq1 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	16, 17	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	18	rexlimdva 2594	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	13, 19	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
21		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
22		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
23		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24, 9	frec2uz0d 10392	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26		peano1 4591	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fnfvelrn 5645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
28	11, 26, 27	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
29	25, 28	eqeltrrd 2255	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30		eluzel2 9527	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
32		oveq1 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
33	31, 32	sylan9eq 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34		peano2 4592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35		fnfvelrn 5645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
36	11, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
38	33, 37	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
39	38	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
40	39	rexlimdva 2594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
41	13, 40	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9582	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
44	20, 43	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
45	44	eqrdv 2175	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
46	1, 45	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2737  ∅c0 3422   ↦ cmpt 4062  suc csuc 4363  ωcom 4587  ran crn 4625   Fn wfn 5208  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870  freccfrec 6386  1c1 7807   + caddc 7809  ℤcz 9247  ℤ_≥cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-recs 6301  df-frec 6387  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-inn 8914  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10399