Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand GIF version

Theorem frec2uzrand 10185
 Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 10179). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 zex 9070 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
32mptex 5646 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4 vex 2689 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
53, 4fvex 5441 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
65ax-gen 1425 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7 frecfnom 6298 . . . . . . . 8 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
86, 7mpan 420 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
109fneq1i 5217 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
118, 10sylibr 133 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12 fvelrnb 5469 . . . . . 6 (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦))
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦))
14 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
1614, 9, 15frec2uzuzd 10182 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
17 eleq1 2202 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
1816, 17syl5ibcom 154 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
1918rexlimdva 2549 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
2013, 19sylbid 149 . . . 4 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
21 eleq1 2202 . . . . 5 (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺𝐶 ∈ ran 𝐺))
22 eleq1 2202 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ ran 𝐺))
23 eleq1 2202 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24 id 19 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
2524, 9frec2uz0d 10179 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26 peano1 4508 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
27 fnfvelrn 5552 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
2811, 26, 27sylancl 409 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
2925, 28eqeltrrd 2217 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30 eluzel2 9338 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3114, 9, 15frec2uzsucd 10181 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
32 oveq1 5781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
3331, 32sylan9eq 2192 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34 peano2 4509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35 fnfvelrn 5552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3611, 34, 35syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3736adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
3833, 37eqeltrrd 2217 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
3938ex 114 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4039rexlimdva 2549 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4113, 40sylbid 149 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4230, 41syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 9390 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
4420, 43impbid1 141 . . 3 (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
4544eqrdv 2137 . 2 (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
461, 45syl 14 1 (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417  Vcvv 2686  ∅c0 3363   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ran crn 4540   Fn wfn 5118  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287  1c1 7628   + caddc 7630  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334 This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10186
 Copyright terms: Public domain W3C validator