Theorem frec2uzrand 10407

Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 10401). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		zex 9264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
4		vex 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	fvex 5537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6	5	ax-gen 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
7		frecfnom 6404	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn ω)
12		fvelrnb 5565	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
14		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17		eleq1 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	16, 17	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	18	rexlimdva 2594	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	13, 19	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
21		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
22		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
23		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24, 9	frec2uz0d 10401	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26		peano1 4595	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fnfvelrn 5650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
28	11, 26, 27	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
29	25, 28	eqeltrrd 2255	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30		eluzel2 9535	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
32		oveq1 5884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
33	31, 32	sylan9eq 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
34		peano2 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
35		fnfvelrn 5650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
36	11, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
38	33, 37	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
39	38	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
40	39	rexlimdva 2594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
41	13, 40	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9590	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
44	20, 43	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
45	44	eqrdv 2175	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
46	1, 45	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2739  ∅c0 3424   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  ran crn 4629   Fn wfn 5213  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393  1c1 7814   + caddc 7816  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10408