Theorem fsumrecl 11571

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumrecl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. RR )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 7976	. . 3 |- RR C_ CC
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> RR C_ CC )
3		readdcl 8010	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x + y ) e. RR )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumrecl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
7		0red 8032	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 11569	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   C_ wss 3157  (class class class)co 5925   Fincfn 6803   CCcc 7882   RRcr 7883   + caddc 7887   sum_csu 11523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002  ax-arch 8003  ax-caucvg 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-irdg 6432  df-frec 6453  df-1o 6478  df-oadd 6482  df-er 6596  df-en 6804  df-dom 6805  df-fin 6806  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-q 9699  df-rp 9734  df-fz 10089  df-fzo 10223  df-seqfrec 10545  df-exp 10636  df-ihash 10873  df-cj 11012  df-re 11013  df-im 11014  df-rsqrt 11168  df-abs 11169  df-clim 11449  df-sumdc 11524

This theorem is referenced by:  fsumlessfi  11630  fsumle  11633  fsumlt  11634  fsumabs  11635  cvgratnnlemabsle  11697  cvgratnnlemrate  11700  mertenslemi1  11705  mertenslem2  11706  cvgcmp2nlemabs  15726  trilpolemeq1  15734  trilpolemlt1  15735  nconstwlpolemgt0  15758