Theorem fsumcl 11872

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3223	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
2		addcl 8087	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
4		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
6		0cnd 8102	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 11871	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178  (class class class)co 5969   Fincfn 6852   CCcc 7960   + caddc 7965   sum_csu 11825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081  ax-caucvg 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-isom 5300  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-irdg 6481  df-frec 6502  df-1o 6527  df-oadd 6531  df-er 6645  df-en 6853  df-dom 6854  df-fin 6855  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-q 9778  df-rp 9813  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-seqfrec 10632  df-exp 10723  df-ihash 10960  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316  df-rsqrt 11470  df-abs 11471  df-clim 11751  df-sumdc 11826

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11906  fisum0diag2  11919  fsummulc1  11921  fsumdivapc  11922  fsumneg  11923  fsumsub  11924  fsum2mul  11925  fsumabs  11937  telfsumo  11938  fsumparts  11942  fsumrelem  11943  fsumiun  11949  binom1dif  11959  isumsplit  11963  arisum2  11971  geosergap  11978  pwm1geoserap1  11980  cvgratnnlemabsle  11999  mertenslemi1  12007  mertensabs  12009  efcvgfsum  12139  eirraplem  12249  pcfac  12834  dvmptfsum  15358  plyf  15370  plyaddlem1  15380  plymullem1  15381  plycoeid3  15390  plycolemc  15391  plycjlemc  15393  plyrecj  15396  sgmval  15616  sgmf  15619  fsumdvdsmul  15624  cvgcmp2nlemabs  16281