Theorem fsumcllem 11340

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fsumcllem.5	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcllem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	sumeq1d 11307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3		sum0 11329	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
5		fsumcllem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 0 ∈ 𝑆)
7	4, 6	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
8		fsumcllem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fsumcllem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 469	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12		fsumcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumcllem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
15	14	adantlr 469	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
16		n0r 3422	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	16	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
18	9, 11, 13, 15, 17	fsumcl2lem 11339	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
19		fin0or 6852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
20	12, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
21	7, 18, 20	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℂcc 7751  0cc0 7753   + caddc 7756  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumcl  11341  fsumrecl  11342  fsumzcl  11343  fsumnn0cl  11344  fsumge0  11400