Theorem fsumcllem 12085

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fsumcllem.5	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcllem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	sumeq1d 12051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3		sum0 12074	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
5		fsumcllem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 0 ∈ 𝑆)
7	4, 6	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
8		fsumcllem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fsumcllem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12		fsumcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumcllem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
15	14	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
16		n0r 3522	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
18	9, 11, 13, 15, 17	fsumcl2lem 12084	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
19		fin0or 7143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
20	12, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
21	7, 18, 20	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130  Σcsu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  fsumcl  12086  fsumrecl  12087  fsumzcl  12088  fsumnn0cl  12089  fsumge0  12145  plymullem  15615