Theorem lidlsubg 14503

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lidlcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 14493	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	2, 5	lidl0cl 14500	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
7		elex2 2819	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐼 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼)
9		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
10	2, 9	lidlacl 14501	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
11	10	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
12	11	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
13		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
14	2, 13	lidlnegcl 14502	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
15	14	3expa 1229	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
16	12, 15	jca 306	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
17	16	ralrimiva 2605	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
18		ringgrp 14017	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
20	1, 9, 13	issubg2m 13778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
22	4, 8, 17, 21	mpbir3and 1206	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  0_gc0g 13341  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586  SubGrpcsubg 13756  Ringcrg 14012  LIdealclidl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-sbg 13590  df-subg 13759  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-ring 14014  df-subrg 14236  df-lmod 14306  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486

This theorem is referenced by:  lidlsubcl  14504  dflidl2  14505  df2idl2  14526  2idlcpbl  14541  qus1  14543  qusrhm  14545  qusmul2  14546  quscrng  14550  zndvds  14666