ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lidlsubg GIF version

Theorem lidlsubg 13675
Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidlsubg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lidlcl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
31, 2lidlss 13665 . . 3 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
43adantl 277 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5 eqid 2187 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
62, 5lidl0cl 13672 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
7 elex2 2765 . . 3 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼 β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐼)
86, 7syl 14 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐼)
9 eqid 2187 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
102, 9lidlacl 13673 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼)
1110anassrs 400 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼)
1211ralrimiva 2560 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼)
13 eqid 2187 . . . . . 6 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
142, 13lidlnegcl 13674 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼)
15143expa 1204 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼)
1612, 15jca 306 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼))
1716ralrimiva 2560 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼))
18 ringgrp 13253 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1918adantr 276 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
201, 9, 13issubg2m 13081 . . 3 (𝑅 ∈ Grp β†’ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ↔ (𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼))))
2119, 20syl 14 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ↔ (𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐼))))
224, 8, 17, 21mpbir3and 1181 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465   βŠ† wss 3141  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  +gcplusg 12551  0gc0g 12723  Grpcgrp 12899  invgcminusg 12900  SubGrpcsubg 13059  Ringcrg 13248  LIdealclidl 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-ip 12569  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-sbg 12904  df-subg 13062  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-ring 13250  df-subrg 13439  df-lmod 13478  df-lssm 13542  df-sra 13624  df-rgmod 13625  df-lidl 13658
This theorem is referenced by:  lidlsubcl  13676  dflidl2  13677  df2idl2  13697  2idlcpbl  13712  qus1  13714  qusmul2  13716  quscrng  13720
  Copyright terms: Public domain W3C validator