Theorem modqadd1 10723

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqadd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqadd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqadd1.dq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqadd1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqadd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 6057	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13		qcn 9966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15		modqadd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
16		qcn 9966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18		qcn 9966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
19	3, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	4	gt0ne0d 8786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
21		qdivcl 9975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
22	2, 3, 20, 21	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
23	22	flqcld 10637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
25	19, 24	mulcld 8294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
26	14, 17, 25	addsubd 8605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27		qcn 9966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
28	7, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29		qdivcl 9975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
30	7, 3, 20, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
31	30	flqcld 10637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	19, 32	mulcld 8294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
34	28, 17, 33	addsubd 8605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
35	26, 34	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
36	12, 35	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37		oveq1 6057	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38		qaddcl 9967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
39	2, 15, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40		modqcyc2 10722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
41	39, 23, 3, 4, 40	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42		qaddcl 9967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
43	7, 15, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44		modqcyc2 10722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
45	43, 31, 3, 4, 44	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
46	41, 45	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
47	37, 46	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
48	36, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
49	1, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   − cmin 8444   / cdiv 8946  ℤcz 9577  ℚcq 9951  ⌊cfl 10628   mod cmo 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685

This theorem is referenced by:  modqaddabs  10724  modqaddmod  10725  modqadd12d  10742  modqaddmulmod  10753  moddvds  12485  modsubi  13117  lgsvalmod  15892  lgsmod  15899  lgsne0  15911  lgseisen  15947