Theorem modqadd1 10317

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqadd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqadd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqadd1.dq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqadd1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqadd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 5860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
12	10, 11	syl6bi 162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13		qcn 9593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15		modqadd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
16		qcn 9593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18		qcn 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
19	3, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	4	gt0ne0d 8431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
21		qdivcl 9602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
22	2, 3, 20, 21	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
23	22	flqcld 10233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
25	19, 24	mulcld 7940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
26	14, 17, 25	addsubd 8251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27		qcn 9593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
28	7, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29		qdivcl 9602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
30	7, 3, 20, 29	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
31	30	flqcld 10233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	19, 32	mulcld 7940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
34	28, 17, 33	addsubd 8251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
35	26, 34	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
36	12, 35	sylibrd 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37		oveq1 5860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38		qaddcl 9594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
39	2, 15, 38	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40		modqcyc2 10316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
41	39, 23, 3, 4, 40	syl22anc 1234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42		qaddcl 9594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
43	7, 15, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44		modqcyc2 10316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
45	43, 31, 3, 4, 44	syl22anc 1234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
46	41, 45	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
47	37, 46	syl5ib 153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
48	36, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
49	1, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ⌊cfl 10224   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  modqaddabs  10318  modqaddmod  10319  modqadd12d  10336  modqaddmulmod  10347  moddvds  11761  lgsvalmod  13714  lgsmod  13721  lgsne0  13733