Theorem modqadd1 10360

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqadd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqadd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqadd1.dq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqadd1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqadd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 5881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
12	10, 11	syl6bi 163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13		qcn 9633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15		modqadd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
16		qcn 9633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18		qcn 9633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
19	3, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	4	gt0ne0d 8468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
21		qdivcl 9642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
22	2, 3, 20, 21	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
23	22	flqcld 10276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
25	19, 24	mulcld 7977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
26	14, 17, 25	addsubd 8288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27		qcn 9633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
28	7, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29		qdivcl 9642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
30	7, 3, 20, 29	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
31	30	flqcld 10276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	19, 32	mulcld 7977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
34	28, 17, 33	addsubd 8288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
35	26, 34	eqeq12d 2192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
36	12, 35	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37		oveq1 5881	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38		qaddcl 9634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
39	2, 15, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40		modqcyc2 10359	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
41	39, 23, 3, 4, 40	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42		qaddcl 9634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
43	7, 15, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44		modqcyc2 10359	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
45	43, 31, 3, 4, 44	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
46	41, 45	eqeq12d 2192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
47	37, 46	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
48	36, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
49	1, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7991   − cmin 8127   / cdiv 8628  ℤcz 9252  ℚcq 9618  ⌊cfl 10267   mod cmo 10321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322

This theorem is referenced by:  modqaddabs  10361  modqaddmod  10362  modqadd12d  10379  modqaddmulmod  10390  moddvds  11805  lgsvalmod  14356  lgsmod  14363  lgsne0  14375