Theorem modqadd1 10819

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqadd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqadd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqadd1.dq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqadd1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqadd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 6095	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13		qcn 10050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15		modqadd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
16		qcn 10050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18		qcn 10050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
19	3, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	4	gt0ne0d 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
21		qdivcl 10059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
22	2, 3, 20, 21	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
23	22	flqcld 10731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
25	19, 24	mulcld 8352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
26	14, 17, 25	addsubd 8665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27		qcn 10050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
28	7, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29		qdivcl 10059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
30	7, 3, 20, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
31	30	flqcld 10731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	19, 32	mulcld 8352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
34	28, 17, 33	addsubd 8665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
35	26, 34	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
36	12, 35	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38		qaddcl 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
39	2, 15, 38	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40		modqcyc2 10818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
41	39, 23, 3, 4, 40	syl22anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42		qaddcl 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
43	7, 15, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44		modqcyc2 10818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
45	43, 31, 3, 4, 44	syl22anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
46	41, 45	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
47	37, 46	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
48	36, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
49	1, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   − cmin 8504   / cdiv 9010  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ⌊cfl 10720   mod cmo 10780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722  df-mod 10781

This theorem is used by:  modqaddabs  10820  modqaddmod  10821  modqadd12d  10838  modqaddmulmod  10849  moddvds  12591  modsubi  13228  lgsvalmod  16343  lgsmod  16350  lgsne0  16362  lgseisen  16398