ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqadd1 GIF version

Theorem modqadd1 10141
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqadd1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqadd1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1
StepHypRef Expression
1 modqadd1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqadd1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqadd1.dq . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqadd1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 10104 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqadd1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 10104 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2154 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5781 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
1210, 11syl6bi 162 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13 qcn 9433 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
142, 13syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
15 modqadd1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
16 qcn 9433 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
18 qcn 9433 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
193, 18syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
204gt0ne0d 8281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ≠ 0)
21 qdivcl 9442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
222, 3, 20, 21syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2322flqcld 10057 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2423zcnd 9181 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2519, 24mulcld 7793 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2614, 17, 25addsubd 8101 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27 qcn 9433 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
287, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
29 qdivcl 9442 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
307, 3, 20, 29syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3130flqcld 10057 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3231zcnd 9181 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3319, 32mulcld 7793 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
3428, 17, 33addsubd 8101 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
3526, 34eqeq12d 2154 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
3612, 35sylibrd 168 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37 oveq1 5781 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38 qaddcl 9434 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
392, 15, 38syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40 modqcyc2 10140 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
4139, 23, 3, 4, 40syl22anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42 qaddcl 9434 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
437, 15, 42syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44 modqcyc2 10140 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4543, 31, 3, 4, 44syl22anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4641, 45eqeq12d 2154 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4737, 46syl5ib 153 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4836, 47syld 45 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
491, 48mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807  cmin 7940   / cdiv 8439  cz 9061  cq 9418  cfl 10048   mod cmo 10102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050  df-mod 10103
This theorem is referenced by:  modqaddabs  10142  modqaddmod  10143  modqadd12d  10160  modqaddmulmod  10171  moddvds  11509
  Copyright terms: Public domain W3C validator