ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqadd1 GIF version

Theorem modqadd1 9655
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqadd1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqadd1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1
StepHypRef Expression
1 modqadd1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqadd1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqadd1.dq . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqadd1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 9618 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqadd1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 9618 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5596 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
1210, 11syl6bi 161 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13 qcn 9012 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
142, 13syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
15 modqadd1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
16 qcn 9012 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
18 qcn 9012 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
193, 18syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
204gt0ne0d 7888 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ≠ 0)
21 qdivcl 9021 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
222, 3, 20, 21syl3anc 1170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2322flqcld 9571 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2423zcnd 8763 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2519, 24mulcld 7409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2614, 17, 25addsubd 7715 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27 qcn 9012 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
287, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
29 qdivcl 9021 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
307, 3, 20, 29syl3anc 1170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3130flqcld 9571 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3231zcnd 8763 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3319, 32mulcld 7409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
3428, 17, 33addsubd 7715 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
3526, 34eqeq12d 2097 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
3612, 35sylibrd 167 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37 oveq1 5596 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38 qaddcl 9013 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
392, 15, 38syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40 modqcyc2 9654 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
4139, 23, 3, 4, 40syl22anc 1171 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42 qaddcl 9013 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
437, 15, 42syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44 modqcyc2 9654 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4543, 31, 3, 4, 44syl22anc 1171 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4641, 45eqeq12d 2097 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4737, 46syl5ib 152 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4836, 47syld 44 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
491, 48mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  cfv 4967  (class class class)co 5589  cc 7249  0cc0 7251   + caddc 7254   · cmul 7256   < clt 7423  cmin 7554   / cdiv 8035  cz 8644  cq 8997  cfl 9562   mod cmo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-q 8998  df-rp 9028  df-fl 9564  df-mod 9617
This theorem is referenced by:  modqaddabs  9656  modqaddmod  9657  modqadd12d  9674  modqaddmulmod  9685  moddvds  10583
  Copyright terms: Public domain W3C validator