Theorem mplsubgfi 14843

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplsubg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 14838	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆))
7		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		mplsubg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 14840	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
10	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
11	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
12		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑈)
14		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 14841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
16	15	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
17	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
18	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
20		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 14842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
22	16, 21	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
23	22	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
24	2, 7, 8	psrgrp 14827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
25	4, 14, 20	issubg2m 13895	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
26	24, 25	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1207	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  Grpcgrp 13702  inv_gcminusg 13703  SubGrpcsubg 13873   mPwSer cmps 14796   mPoly cmpl 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-ixp 6933  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304  df-rest 13443  df-topn 13444  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-prds 13469  df-pws 13492  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-subg 13876  df-psr 14798  df-mplcoe 14799

This theorem is referenced by:  mpl0fi  14844  mplnegfi  14847  mplgrpfi  14848