Theorem mplsubgfi 14708

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplsubg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 14703	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆))
7		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		mplsubg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 14705	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
10	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
11	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
12		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑈)
14		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 14706	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
16	15	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
17	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
18	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
20		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 14707	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
22	16, 21	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
23	22	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
24	2, 7, 8	psrgrp 14692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
25	4, 14, 20	issubg2m 13769	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
26	24, 25	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1204	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  Grpcgrp 13576  inv_gcminusg 13577  SubGrpcsubg 13747   mPwSer cmps 14668   mPoly cmpl 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-er 6697  df-map 6814  df-ixp 6863  df-en 6905  df-fin 6907  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-hom 13177  df-cco 13178  df-rest 13317  df-topn 13318  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-prds 13343  df-pws 13366  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-subg 13750  df-psr 14670  df-mplcoe 14671

This theorem is referenced by:  mpl0fi  14709  mplnegfi  14712  mplgrpfi  14713