ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mplsubgfi GIF version

Theorem mplsubgfi 14578
Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
mplsubgfi (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubgfi
Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplsubg.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 mplsubg.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2207 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
51, 2, 3, 4mplbasss 14573 . . 3 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
65a1i 9 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑆))
7 mplsubg.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 mplsubg.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
92, 1, 3, 7, 8mplsubgfilemm 14575 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 𝑗𝑈)
107ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
118ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
12 simplr 528 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢𝑈)
13 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣𝑈)
14 eqid 2207 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
152, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14mplsubgfilemcl 14576 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
1615ralrimiva 2581 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
177adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
188adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
19 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝑈)
20 eqid 2207 . . . . 5 (invg𝑆) = (invg𝑆)
212, 1, 3, 17, 18, 19, 20mplsubgfileminv 14577 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
2216, 21jca 306 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
2322ralrimiva 2581 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
242, 7, 8psrgrp 14562 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
254, 14, 20issubg2m 13640 . . 3 (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗𝑈 ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
2624, 25syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗𝑈 ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
276, 9, 23, 26mpbir3and 1183 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 981   = wceq 1373  wex 1516  wcel 2178  wral 2486  wss 3174  cfv 5290  (class class class)co 5967  Fincfn 6850  Basecbs 12947  +gcplusg 13024  Grpcgrp 13447  invgcminusg 13448  SubGrpcsubg 13618   mPwSer cmps 14538   mPoly cmpl 14539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-map 6760  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621  df-psr 14540  df-mplcoe 14541
This theorem is referenced by:  mpl0fi  14579  mplnegfi  14582  mplgrpfi  14583
  Copyright terms: Public domain W3C validator