Theorem mplsubgfi 15183

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplsubg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 15178	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆))
7		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		mplsubg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 15180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
10	7	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
11	8	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
12		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 ∈ 𝑈)
14		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 15181	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
16	15	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
17	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ Fin)
18	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝑈)
20		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 15182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
22	16, 21	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
23	22	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
24	2, 7, 8	psrgrp 15167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
25	4, 14, 20	issubg2m 14045	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
26	24, 25	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (∀𝑣 ∈ 𝑈 (𝑢(+g‘𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1211	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859  SubGrpcsubg 14023   mPwSer cmps 15129   mPoly cmpl 15130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-ixp 6981  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13648  df-topn 13649  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-prds 14254  df-pws 14287  df-psr 15131  df-mplcoe 15132

This theorem is used by:  mpl0fi  15184  mplnegfi  15187  mplgrpfi  15188