ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr GIF version

Theorem mulcnsr 7433
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 7361 . . . . 5 ((𝐴R𝐶R) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
21ad2ant2r 494 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
3 m1r 7359 . . . . 5 -1RR
4 mulclsr 7361 . . . . . 6 ((𝐵R𝐷R) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
54ad2ant2l 493 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
6 mulclsr 7361 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
73, 5, 6sylancr 406 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
8 addclsr 7360 . . . 4 (((𝐴 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
92, 7, 8syl2anc 404 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
10 mulclsr 7361 . . . . 5 ((𝐵R𝐶R) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
1110ad2ant2lr 495 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
12 mulclsr 7361 . . . . 5 ((𝐴R𝐷R) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
1312ad2ant2rl 496 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
14 addclsr 7360 . . . 4 (((𝐵 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
1511, 13, 14syl2anc 404 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
16 opelxpi 4483 . . 3 ((((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R ∧ ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
179, 15, 16syl2anc 404 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
18 simpll 497 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑤 = 𝐴)
19 simprl 499 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑢 = 𝐶)
2018, 19oveq12d 5684 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑤 ·R 𝑢) = (𝐴 ·R 𝐶))
21 simplr 498 . . . . . 6 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑣 = 𝐵)
22 simprr 500 . . . . . 6 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑓 = 𝐷)
2321, 22oveq12d 5684 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑣 ·R 𝑓) = (𝐵 ·R 𝐷))
2423oveq2d 5682 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓)) = (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)))
2520, 24oveq12d 5684 . . 3 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))) = ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))))
2621, 19oveq12d 5684 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑣 ·R 𝑢) = (𝐵 ·R 𝐶))
2718, 22oveq12d 5684 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑤 ·R 𝑓) = (𝐴 ·R 𝐷))
2826, 27oveq12d 5684 . . 3 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓)) = ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)))
2925, 28opeq12d 3636 . 2 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩ = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
30 df-mul 7423 . . 3 · = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
31 df-c 7417 . . . . . . 7 ℂ = (R × R)
3231eleq2i 2155 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ (R × R))
3331eleq2i 2155 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ (R × R))
3432, 33anbi12i 449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)))
3534anbi1i 447 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩)) ↔ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩)))
3635oprabbii 5718 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
3730, 36eqtri 2109 . 2 · = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
3817, 29, 37ovi3 5795 1 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wex 1427  wcel 1439  cop 3453   × cxp 4450  (class class class)co 5666  {coprab 5667  Rcnr 6917  -1Rcm1r 6920   +R cplr 6921   ·R cmr 6922  cc 7409   · cmul 7416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-imp 7089  df-enr 7333  df-nr 7334  df-plr 7335  df-mr 7336  df-m1r 7340  df-c 7417  df-mul 7423
This theorem is referenced by:  mulresr  7436  mulcnsrec  7441  axmulcl  7464  axi2m1  7471  axcnre  7477
  Copyright terms: Public domain W3C validator