ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr GIF version

Theorem mulcnsr 7607
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 7526 . . . . 5 ((𝐴R𝐶R) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
21ad2ant2r 498 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
3 m1r 7524 . . . . 5 -1RR
4 mulclsr 7526 . . . . . 6 ((𝐵R𝐷R) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
54ad2ant2l 497 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
6 mulclsr 7526 . . . . 5 ((-1RR ∧ (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
73, 5, 6sylancr 408 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
8 addclsr 7525 . . . 4 (((𝐴 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
92, 7, 8syl2anc 406 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
10 mulclsr 7526 . . . . 5 ((𝐵R𝐶R) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
1110ad2ant2lr 499 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
12 mulclsr 7526 . . . . 5 ((𝐴R𝐷R) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
1312ad2ant2rl 500 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
14 addclsr 7525 . . . 4 (((𝐵 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
1511, 13, 14syl2anc 406 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
16 opelxpi 4539 . . 3 ((((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R ∧ ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
179, 15, 16syl2anc 406 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
18 simpll 501 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑤 = 𝐴)
19 simprl 503 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑢 = 𝐶)
2018, 19oveq12d 5758 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑤 ·R 𝑢) = (𝐴 ·R 𝐶))
21 simplr 502 . . . . . 6 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑣 = 𝐵)
22 simprr 504 . . . . . 6 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → 𝑓 = 𝐷)
2321, 22oveq12d 5758 . . . . 5 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑣 ·R 𝑓) = (𝐵 ·R 𝐷))
2423oveq2d 5756 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓)) = (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)))
2520, 24oveq12d 5758 . . 3 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))) = ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))))
2621, 19oveq12d 5758 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑣 ·R 𝑢) = (𝐵 ·R 𝐶))
2718, 22oveq12d 5758 . . . 4 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → (𝑤 ·R 𝑓) = (𝐴 ·R 𝐷))
2826, 27oveq12d 5758 . . 3 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓)) = ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)))
2925, 28opeq12d 3681 . 2 (((𝑤 = 𝐴𝑣 = 𝐵) ∧ (𝑢 = 𝐶𝑓 = 𝐷)) → ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩ = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
30 df-mul 7596 . . 3 · = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
31 df-c 7590 . . . . . . 7 ℂ = (R × R)
3231eleq2i 2182 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ (R × R))
3331eleq2i 2182 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ (R × R))
3432, 33anbi12i 453 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)))
3534anbi1i 451 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩)) ↔ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩)))
3635oprabbii 5792 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
3730, 36eqtri 2136 . 2 · = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (R × R) ∧ 𝑦 ∈ (R × R)) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = ⟨𝑤, 𝑣⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑓⟩) ∧ 𝑧 = ⟨((𝑤 ·R 𝑢) +R (-1R ·R (𝑣 ·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R (𝑤 ·R 𝑓))⟩))}
3817, 29, 37ovi3 5873 1 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  cop 3498   × cxp 4505  (class class class)co 5740  {coprab 5741  Rcnr 7069  -1Rcm1r 7072   +R cplr 7073   ·R cmr 7074  cc 7582   · cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-imp 7241  df-enr 7498  df-nr 7499  df-plr 7500  df-mr 7501  df-m1r 7505  df-c 7590  df-mul 7596
This theorem is referenced by:  mulresr  7610  mulcnsrec  7615  axmulcl  7638  axi2m1  7647  axcnre  7653
  Copyright terms: Public domain W3C validator