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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdeq | Unicode version |
Description: Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
Ref | Expression |
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lcmgcdeq |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dvdslcm 11543 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | simpld 111 |
. . . . . 6
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3 | 2 | adantr 272 |
. . . . 5
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4 | gcddvds 11447 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | simprd 113 |
. . . . . . 7
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6 | breq1 3878 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | syl5ibrcom 156 |
. . . . . 6
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8 | 7 | imp 123 |
. . . . 5
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9 | lcmcl 11546 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | 9 | nn0zd 9023 |
. . . . . . . . . 10
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11 | dvdstr 11325 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 10, 11 | syl3an2 1218 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | 3com12 1153 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | 3expb 1150 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | anidms 392 |
. . . . . 6
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16 | 15 | adantr 272 |
. . . . 5
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17 | 3, 8, 16 | mp2and 427 |
. . . 4
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18 | absdvdsb 11306 |
. . . . . 6
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19 | zabscl 10698 |
. . . . . . 7
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20 | dvdsabsb 11307 |
. . . . . . 7
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21 | 19, 20 | sylan 279 |
. . . . . 6
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22 | 18, 21 | bitrd 187 |
. . . . 5
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23 | 22 | adantr 272 |
. . . 4
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24 | 17, 23 | mpbid 146 |
. . 3
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25 | 1 | simprd 113 |
. . . . . 6
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26 | 25 | adantr 272 |
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27 | 4 | simpld 111 |
. . . . . . 7
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28 | breq1 3878 |
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29 | 27, 28 | syl5ibrcom 156 |
. . . . . 6
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30 | 29 | imp 123 |
. . . . 5
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31 | dvdstr 11325 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 10, 31 | syl3an2 1218 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | 3coml 1156 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | 3expb 1150 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | anidms 392 |
. . . . . 6
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36 | 35 | adantr 272 |
. . . . 5
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37 | 26, 30, 36 | mp2and 427 |
. . . 4
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38 | absdvdsb 11306 |
. . . . . . 7
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39 | zabscl 10698 |
. . . . . . . 8
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40 | dvdsabsb 11307 |
. . . . . . . 8
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41 | 39, 40 | sylan 279 |
. . . . . . 7
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42 | 38, 41 | bitrd 187 |
. . . . . 6
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43 | 42 | ancoms 266 |
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44 | 43 | adantr 272 |
. . . 4
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45 | 37, 44 | mpbid 146 |
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46 | nn0abscl 10697 |
. . . . . . 7
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47 | nn0abscl 10697 |
. . . . . . 7
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48 | 46, 47 | anim12i 334 |
. . . . . 6
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49 | dvdseq 11341 |
. . . . . 6
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50 | 48, 49 | sylan 279 |
. . . . 5
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51 | 50 | ex 114 |
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52 | 51 | adantr 272 |
. . 3
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53 | 24, 45, 52 | mp2and 427 |
. 2
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54 | lcmid 11554 |
. . . . . . . 8
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55 | 19, 54 | syl 14 |
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56 | gcdid 11469 |
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57 | 19, 56 | syl 14 |
. . . . . . 7
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58 | 55, 57 | eqtr4d 2135 |
. . . . . 6
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59 | oveq2 5714 |
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60 | oveq2 5714 |
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61 | 59, 60 | eqeq12d 2114 |
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62 | 58, 61 | syl5ibcom 154 |
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63 | 62 | imp 123 |
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64 | 63 | adantlr 464 |
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65 | lcmabs 11550 |
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66 | gcdabs 11471 |
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67 | 65, 66 | eqeq12d 2114 |
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68 | 67 | adantr 272 |
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69 | 64, 68 | mpbid 146 |
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70 | 53, 69 | impbida 566 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-isom 5068 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-sup 6786 df-inf 6787 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-q 9262 df-rp 9292 df-fz 9632 df-fzo 9761 df-fl 9884 df-mod 9937 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 df-dvds 11289 df-gcd 11431 df-lcm 11535 |
This theorem is referenced by: (None) |
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