Theorem nn0abscl 11708

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9527	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		absnid 11696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 9648	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
7	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	le0neg1d 8739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
10		elnn0z 9536	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝐴))
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
12	3, 11	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13		absid 11694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	1, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
15		elnn0z 9536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
16	15	biimpri 133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
18		0z 9534	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
19		zletric 9567	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
20	18, 19	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
21	12, 17, 20	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  ℝcr 8074  0cc0 8075   ≤ cle 8257  -cneg 8393  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  abscabs 11620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622

This theorem is referenced by:  zabscl  11709  absmulgcd  12651  lcmgcd  12713  lcmgcdeq  12718  mulgcddvds  12729  sqnprm  12771  zgcdsq  12836  4sqlem11  13037  lgsabs1  15841