Theorem nn0abscl 11874

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9659	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		absnid 11861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 9781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
7	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	le0neg1d 8852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
10		elnn0z 9668	. . . 4 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ( -𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝐴))
11	5, 9, 10	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
12	3, 11	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13		absid 11859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	1, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
15		elnn0z 9668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
16	15	biimpri 133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
18		0z 9666	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
19		zletric 9699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
20	18, 19	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
21	12, 17, 20	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  ℝcr 8184  0cc0 8185   ≤ cle 8367   -cneg 8505  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  zabscl  11875  absmulgcd  12819  lcmgcd  12881  lcmgcdeq  12886  mulgcddvds  12897  sqnprm  12940  zgcdsq  13006  4sqlem11  13209  lgsabs1  16363