Theorem nn0abscl 11636

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		absnid 11624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 9594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
7	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	le0neg1d 8687	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
10		elnn0z 9482	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝐴))
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
12	3, 11	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13		absid 11622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	1, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
15		elnn0z 9482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
16	15	biimpri 133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
18		0z 9480	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
19		zletric 9513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
20	18, 19	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
21	12, 17, 20	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  ℝcr 8021  0cc0 8022   ≤ cle 8205  -cneg 8341  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  abscabs 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  zabscl  11637  absmulgcd  12578  lcmgcd  12640  lcmgcdeq  12645  mulgcddvds  12656  sqnprm  12698  zgcdsq  12763  4sqlem11  12964  lgsabs1  15758