Theorem nn0sqrtelqelz 12160

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12143	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 8891	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 7935	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 9188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 9191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 8400	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 10569	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	11	nn0ge0d 9191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝐴)
14		resqrtth 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
16	15	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
17		nn0z 9232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zq 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
22		qden1elz 12159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
24	18, 23	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
25	16, 24	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
26		densq 12158	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
27	26	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
30		qden1elz 12159	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
31	30	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ↑cexp 10475  √csqrt 10960  denomcdenom 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-numer 12137  df-denom 12138

This theorem is referenced by:  nonsq  12161