Theorem nn0sqrtelqelz 11676

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 11659	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 8591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 7653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 8882	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 8885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 8110	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 10227	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 8883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	11	nn0ge0d 8885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝐴)
14		resqrtth 10643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
15	12, 13, 14	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
16	15	fveq2d 5357	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
17		nn0z 8926	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zq 9268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
22		qden1elz 11675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
24	18, 23	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
25	16, 24	eqtrd 2132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
26		densq 11674	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
27	26	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 10298	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
30		qden1elz 11675	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
31	30	adantl 273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℝcr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   ≤ cle 7673  ℕcn 8578  2c2 8629  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906  ℚcq 9261  ↑cexp 10133  √csqrt 10608  denomcdenom 11652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431  df-numer 11653  df-denom 11654

This theorem is referenced by:  nonsq  11677