Theorem nn0sqrtelqelz 13011

Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0sqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 12994	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 9326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 8347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 9631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 9634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 8816	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 11091	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 9632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	11	nn0ge0d 9634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝐴)
14		resqrtth 11819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
15	12, 13, 14	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
16	15	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
17		nn0z 9675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	11, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zq 10042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
21	11, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
22		qden1elz 13010	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
24	18, 23	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
25	16, 24	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
26		densq 13009	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
27	26	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
28	10, 25, 27	3eqtr2rd 2278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
29	3, 4, 6, 8, 28	sq11d 11165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
30		qden1elz 13010	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
31	30	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  2c2 9364  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ↑cexp 10996  √csqrt 11784  denomcdenom 12987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-numer 12988  df-denom 12989

This theorem is used by:  nonsq  13012  nn0sqdcq  13013