ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0sqrtelqelz GIF version
Theorem nn0sqrtelqelz 12208
Description: If a nonnegative integer has a rational square root, that root must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
nn0sqrtelqelz ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€)
Proof of Theorem nn0sqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 12191 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•)
21adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•)
32nnred 8934 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
4 1red 7974 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 1 ∈ ℝ)
52nnnn0d 9231 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
65nn0ge0d 9234 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 0 ≀ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
7 0le1 8440 . . . 4 0 ≀ 1
87a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 0 ≀ 1)
9 sq1 10616 . . . . 5 (1↑2) = 1
109a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (1↑2) = 1)
11 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
1211nn0red 9232 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1311nn0ge0d 9234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 0 ≀ 𝐴)
14 resqrtth 11042 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
1615fveq2d 5521 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = (denomβ€˜π΄))
17 nn0z 9275 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1811, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
19 zq 9628 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„š)
2017, 19syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ β„š)
2111, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
22 qden1elz 12207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))
2321, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))
2418, 23mpbird 167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π΄) = 1)
2516, 24eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = 1)
26 densq 12206 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2))
2726adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2))
2810, 25, 273eqtr2rd 2217 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2) = (1↑2))
293, 4, 6, 8, 28sq11d 10689 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1)
30 qden1elz 12207 . . 3 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1 ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€))
3130adantl 277 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1 ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€))
3229, 31mpbid 147 1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   ≀ cle 7995  β„•cn 8921  2c2 8972  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„šcq 9621  β†‘cexp 10521  βˆšcsqrt 11007  denomcdenom 12184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-numer 12185  df-denom 12186
This theorem is referenced by:  nonsq  12209
  Copyright terms: Public domain W3C validator