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Theorem plymul 15855
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plymul.4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
Assertion
Ref Expression
plymul |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, S, y   x, G, y   ph, x, y
Proof of Theorem plymul
Dummy variables k m n z a b j w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2 elply2 15838 . . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
32simprbi 275 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
41, 3syl 14 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5 plyadd.2 . . 3 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6 elply2 15838 . . . 4 |- ( G e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
76simprbi 275 . . 3 |- ( G e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
85, 7syl 14 . 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
9 reeanv 2721 . . 3 |- ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
10 reeanv 2721 . . . . 5 |- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
11 simp1l 1052 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ph )
1211, 1syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
1311, 5syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
1511, 14sylan 283 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
16 simp1rl 1093 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> m e. NN0 )
17 simp1rr 1094 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
18 simp2l 1054 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
19 simp2r 1055 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20 simp3ll 1099 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } )
21 simp3rl 1101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
22 simp3lr 1100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
23 oveq1 6092 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z ^ k ) = ( w ^ k ) )
2423oveq2d 6101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
2524sumeq2sdv 12138 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
26 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) )
27 oveq2 6093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) )
2826, 27oveq12d 6103 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
2928cbvsumv 12129 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) )
3025, 29eqtrdi 2287 . . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
3130cbvmptv 4227 . . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
3222, 31eqtrdi 2287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
33 simp3rr 1102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
3423oveq2d 6101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
3534sumeq2sdv 12138 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
36 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( b ` k ) = ( b ` j ) )
3736, 27oveq12d 6103 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
3837cbvsumv 12129 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) )
3935, 38eqtrdi 2287 . . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
4039cbvmptv 4227 . . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
4133, 40eqtrdi 2287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
4311, 42sylan 283 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 15853 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
45443expia 1236 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
4645rexlimdvva 2676 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
4710, 46biimtrrid 153 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
4847rexlimdvva 2676 . . 3 |- ( ph -> ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
499, 48biimtrrid 153 . 2 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
504, 8, 49mp2and 437 1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   |-> cmpt 4192   "cima 4777   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   ^m cmap 6922   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   NN0cn0 9565   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121  Polycply 15831
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This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122  df-ply 15833
This theorem is used by:  plysub  15856  plymulcl  15858  plycolemc  15861
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