Theorem plymul 15072

Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyadd.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyadd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plymul.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plymul	|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, S, y   x, G, y   ph, x, y

Proof of Theorem plymul

Dummy variables k m n z a b j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply2 15055	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
3	2	simprbi 275	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
5		plyadd.2	. . 3 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		elply2 15055	. . . 4 |- ( G e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
7	6	simprbi 275	. . 3 |- ( G e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
9		reeanv 2667	. . 3 |- ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
10		reeanv 2667	. . . . 5 |- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
11		simp1l 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ph )
12	11, 1	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
13	11, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
14		plyadd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
15	11, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
16		simp1rl 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> m e. NN0 )
17		simp1rr 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
18		simp2l 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
19		simp2r 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
20		simp3ll 1070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } )
21		simp3rl 1072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
22		simp3lr 1071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
23		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z ^ k ) = ( w ^ k ) )
24	23	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
25	24	sumeq2sdv 11552	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
26		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) )
27		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) )
28	26, 27	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
29	28	cbvsumv 11543	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) )
30	25, 29	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
31	30	cbvmptv 4130	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
32	22, 31	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
33		simp3rr 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
34	23	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
35	34	sumeq2sdv 11552	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
36		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( b ` k ) = ( b ` j ) )
37	36, 27	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
38	37	cbvsumv 11543	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) )
39	35, 38	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
40	39	cbvmptv 4130	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
41	33, 40	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
42		plymul.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
43	11, 42	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
44	12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43	plymullem 15070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )
45	44	3expia 1207	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
46	45	rexlimdvva 2622	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
47	10, 46	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
48	47	rexlimdvva 2622	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
49	9, 48	biimtrrid 153	. 2 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) ) )
50	4, 8, 49	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3623   |-> cmpt 4095   "cima 4667   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137   ^m cmap 6716   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   NN0cn0 9266   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   ^cexp 10647   sum_csu 11535  Polycply 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ply 15050

This theorem is referenced by:  plysub  15073  plymulcl  15075  plycolemc  15078