ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodfdivap GIF version

Theorem prodfdivap 11455
Description: The quotient of two products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfdivap.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) # 0)
prodfdivap.5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfdivap (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdivap
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 prodfdivap.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3 elfzuz 9930 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4 prodfdivap.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) # 0)
53, 4sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) # 0)
6 eqid 2157 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))
7 fveq2 5470 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
87oveq2d 5842 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺𝑛)) = (1 / (𝐺𝑘)))
9 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
102, 4recclapd 8658 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
116, 8, 9, 10fvmptd3 5563 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
123, 11sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
1311, 10eqeltrd 2234 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
141, 2, 5, 12, 13prodfrecap 11454 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
1514oveq2d 5842 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
16 prodfdivap.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
17 eleq1w 2218 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
1817anbi2d 460 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀))))
19 fveq2 5470 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑛))
2019eleq1d 2226 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑛) ∈ ℂ))
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)))
2221, 2chvarvv 1888 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
2319breq1d 3977 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) # 0 ↔ (𝐺𝑛) # 0))
2418, 23imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) # 0) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑛) # 0)))
2524, 4chvarvv 1888 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑛) # 0)
2622, 25recclapd 8658 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
2726fmpttd 5624 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛))):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
2827ffvelrnda 5604 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2916, 2, 4divrecapd 8670 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
30 prodfdivap.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
3111oveq2d 5842 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
3229, 30, 313eqtr4d 2200 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)))
331, 16, 28, 32prod3fmul 11449 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)))
34 eqid 2157 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
35 eluzel2 9449 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
361, 35syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3734, 36, 16prodf 11446 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3837, 1ffvelrnd 5605 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3934, 36, 2prodf 11446 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
4039, 1ffvelrnd 5605 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
411, 2, 5prodfap0 11453 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) # 0)
4238, 40, 41divrecapd 8670 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
4315, 33, 423eqtr4d 2200 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  cmpt 4027  cfv 5172  (class class class)co 5826  cc 7732  0cc0 7734  1c1 7735   · cmul 7739   # cap 8460   / cdiv 8549  cz 9172  cuz 9444  ...cfz 9918  seqcseq 10353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator