Theorem prodfdivap 11555

Description: The quotient of two products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdivap.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
prodfdivap.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdivap	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdivap

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdivap.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		elfzuz 10021	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		prodfdivap.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
6		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		fveq2 5516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
8	7	oveq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	2, 4	recclapd 8738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd3 5610	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
12	3, 11	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
13	11, 10	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 5, 12, 13	prodfrecap 11554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
15	14	oveq2d 5891	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
16		prodfdivap.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17		eleq1w 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		fveq2 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
20	19	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
22	21, 2	chvarvv 1908	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
23	19	breq1d 4014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) # 0 ↔ (𝐺‘𝑛) # 0))
24	18, 23	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) # 0)))
25	24, 4	chvarvv 1908	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) # 0)
26	22, 25	recclapd 8738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
27	26	fmpttd 5672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
28	27	ffvelcdmda 5652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
29	16, 2, 4	divrecapd 8750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
30		prodfdivap.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
31	11	oveq2d 5891	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
33	1, 16, 28, 32	prod3fmul 11549	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
34		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
35		eluzel2 9533	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	34, 36, 16	prodf 11546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
38	37, 1	ffvelcdmd 5653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
39	34, 36, 2	prodf 11546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
40	39, 1	ffvelcdmd 5653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
41	1, 2, 5	prodfap0 11553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) # 0)
42	38, 40, 41	divrecapd 8750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
43	15, 33, 42	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   · cmul 7816   # cap 8538   / cdiv 8629  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446

This theorem is referenced by: (None)