Theorem prodfdivap 11319

Description: The quotient of two products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdivap.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdivap.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
prodfdivap.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdivap	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdivap

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdivap.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		elfzuz 9805	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		prodfdivap.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
5	3, 4	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) # 0)
6		eqid 2139	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
8	7	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	2, 4	recclapd 8544	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd3 5514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
12	3, 11	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
13	11, 10	eqeltrd 2216	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 5, 12, 13	prodfrecap 11318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
15	14	oveq2d 5790	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
16		prodfdivap.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17		eleq1w 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	anbi2d 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
20	19	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
21	18, 20	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
22	21, 2	chvarvv 1880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
23	19	breq1d 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) # 0 ↔ (𝐺‘𝑛) # 0))
24	18, 23	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) # 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) # 0)))
25	24, 4	chvarvv 1880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑛) # 0)
26	22, 25	recclapd 8544	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
27	26	fmpttd 5575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
28	27	ffvelrnda 5555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
29	16, 2, 4	divrecapd 8556	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
30		prodfdivap.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
31	11	oveq2d 5790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
33	1, 16, 28, 32	prod3fmul 11313	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
34		eqid 2139	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
35		eluzel2 9334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	34, 36, 16	prodf 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
38	37, 1	ffvelrnd 5556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
39	34, 36, 2	prodf 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
40	39, 1	ffvelrnd 5556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
41	1, 2, 5	prodfap0 11317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) # 0)
42	38, 40, 41	divrecapd 8556	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
43	15, 33, 42	3eqtr4d 2182	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  0cc0 7623  1c1 7624   · cmul 7628   # cap 8346   / cdiv 8435  ℤcz 9057  ℤ_≥cuz 9329  ...cfz 9793  seqcseq 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222

This theorem is referenced by: (None)