Theorem recosval 11672

Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recosval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem recosval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7862	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 7900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjmul 10842	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
4	1, 2, 3	sylancr 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5		cji 10859	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
6	5	oveq1i 5861	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7		cjre 10839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 5867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
10	4, 9	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
11	10	fveq2d 5498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12		mulcl 7894	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	sylancr 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcj 11629	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
16	11, 15	eqtr3d 2205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
17	16	oveq2d 5867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
18	17	oveq1d 5866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
19		cosval 11659	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
20	2, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21		efcl 11620	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22		reval 10806	. . 3 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
23	13, 21, 22	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2213	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  ℝcr 7766  ici 7769   + caddc 7770   · cmul 7772  -cneg 8084   / cdiv 8582  2c2 8922  ∗ccj 10796  ℜcre 10797  expce 11598  cosccos 11601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-ico 9844  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-fac 10653  df-ihash 10703  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310  df-ef 11604  df-cos 11607

This theorem is referenced by:  recos4p  11675  recoscl  11677  cos0  11686