ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeftlcl Unicode version

Theorem reeftlcl 11696
Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
reeftlcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, n, A   
k, F    k, M, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem reeftlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nn0z 9272 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 277 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4 eqidd 2178 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  A  e.  RR )
65recnd 7985 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  A  e.  CC )
7 eluznn0 9598 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
87adantll 476 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
9 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
109eftvalcn 11664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
116, 8, 10syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
12 reeftcl 11662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )
135, 8, 12syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1411, 13eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
15 recn 7943 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
169eftlcvg 11694 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
1715, 16sylan 283 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
181, 3, 4, 14, 17isumrecl 11436 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    |-> cmpt 4064   dom cdm 4626   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809    + caddc 7813    / cdiv 8628   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527    seqcseq 10444   ^cexp 10518   !cfa 10704    ~~> cli 11285   sum_csu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  eftlub  11697
  Copyright terms: Public domain W3C validator