ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeftlcl Unicode version

Theorem reeftlcl 11700
Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
reeftlcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, n, A   
k, F    k, M, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem reeftlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nn0z 9276 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 277 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4 eqidd 2178 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  A  e.  RR )
65recnd 7989 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  A  e.  CC )
7 eluznn0 9602 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
87adantll 476 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
9 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
109eftvalcn 11668 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
116, 8, 10syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
12 reeftcl 11666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )
135, 8, 12syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1411, 13eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
15 recn 7947 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
169eftlcvg 11698 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
1715, 16sylan 283 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
181, 3, 4, 14, 17isumrecl 11440 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    |-> cmpt 4066   dom cdm 4628   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813    + caddc 7817    / cdiv 8632   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531    seqcseq 10448   ^cexp 10522   !cfa 10708    ~~> cli 11289   sum_csu 11364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365
This theorem is referenced by:  eftlub  11701
  Copyright terms: Public domain W3C validator