Theorem reeftlcl 11696

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
reeftlcl	|- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, M, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem reeftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		nn0z 9272	. . 3 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
4		eqidd 2178	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
5		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
6	5	recnd 7985	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
7		eluznn0 9598	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
8	7	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
9		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	eftvalcn 11664	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
11	6, 8, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		reeftcl 11662	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
13	5, 8, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
14	11, 13	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
15		recn 7943	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
16	9	eftlcvg 11694	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
17	15, 16	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
18	1, 3, 4, 14, 17	isumrecl 11436	1 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   |-> cmpt 4064   dom cdm 4626   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   + caddc 7813   / cdiv 8628   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   seqcseq 10444   ^cexp 10518   !cfa 10704   ~~> cli 11285   sum_csu 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361

This theorem is referenced by:  eftlub  11697