Theorem eftlcl 11127

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eftlcl	|- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, M, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem eftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2095	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		nn0z 8868	. . 3 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3	2	adantl 272	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
4		eqidd 2096	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
5		simpll 497	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
6		eluznn0 9185	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
7	6	adantll 461	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
8		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
9	8	eftvalcn 11096	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
10	5, 7, 9	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
11		eftcl 11093	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
12	5, 7, 11	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	10, 12	eqeltrd 2171	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	8	eftlcvg 11126	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
15	1, 3, 4, 13, 14	isumcl 10968	1 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   |-> cmpt 3921   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   / cdiv 8236   NN0cn0 8771   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ^cexp 10069   !cfa 10248   sum_csu 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-seqfrec 10001  df-exp 10070  df-fac 10249  df-ihash 10299  df-cj 10391  df-re 10392  df-im 10393  df-rsqrt 10546  df-abs 10547  df-clim 10822  df-sumdc 10897

This theorem is referenced by:  eftlub  11129  efsep  11130  resin4p  11158  recos4p  11159  ef01bndlem  11196  sin01bnd  11197  cos01bnd  11198