Theorem eftlcl 12329

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eftlcl	|- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, M, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem eftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		nn0z 9560	. . 3 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
4		eqidd 2232	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
5		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
6		eluznn0 9894	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
7	6	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
8		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
9	8	eftvalcn 12298	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
10	5, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
11		eftcl 12295	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	10, 12	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	8	eftlcvg 12328	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
15	1, 3, 4, 13, 14	isumcl 12066	1 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   / cdiv 8911   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ^cexp 10863   !cfa 11050   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  eftlub  12331  efsep  12332  resin4p  12359  recos4p  12360  ef01bndlem  12397  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  dveflem  15537