Theorem eftvalcn 11207

Description: The value of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eftvalcn	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) = ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem eftvalcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
2		eftcl 11204	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. CC )
3		oveq2 5734	. . . 4 |- ( n = N -> ( A ^ n ) = ( A ^ N ) )
4		fveq2 5373	. . . 4 |- ( n = N -> ( ! ` n ) = ( ! ` N ) )
5	3, 4	oveq12d 5744	. . 3 |- ( n = N -> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) )
6		eftval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	5, 6	fvmptg 5449	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. CC ) -> ( F ` N ) = ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) )
8	1, 2, 7	syl2anc 406	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) = ( ( A ^ N ) / ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   |-> cmpt 3947   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7538   / cdiv 8338   NN0cn0 8874   ^cexp 10178   !cfa 10357

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-seqfrec 10105  df-exp 10179  df-fac 10358

This theorem is referenced by:  efcllemp  11208  ef0lem  11210  efval  11211  eff  11213  efval2  11215  efcvg  11216  efcvgfsum  11217  reefcl  11218  efcj  11223  efaddlem  11224  eftlcvg  11237  eftlcl  11238  reeftlcl  11239  eftlub  11240  efsep  11241  effsumlt  11242  efgt1p2  11245  efgt1p  11246  eflegeo  11252  eirraplem  11324