Theorem eftlcvg 11709

Description: The tail series of the exponential function are convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eftlcvg	|- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, n   n, M

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem eftlcvg

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
2	1	efcllem 11681	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
4		nn0uz 9576	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	1	eftvalcn 11679	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
7	6	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
8		eftcl 11676	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
9	8	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
10	7, 9	eqeltrd 2264	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	4, 5, 10	iserex 11361	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) )
12	3, 11	mpbid 147	1 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   |-> cmpt 4076   dom cdm 4638   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   + caddc 7828   / cdiv 8643   NN0cn0 9190   seqcseq 10459   ^cexp 10533   !cfa 10719   ~~> cli 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376

This theorem is referenced by:  eftlcl  11710  reeftlcl  11711  eftlub  11712  efsep  11713