Theorem reeftlcl 11652

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
reeftlcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem reeftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nn0z 9232	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2171	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
5		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 9558	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	7	adantll 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftvalcn 11620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	6, 8, 10	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		reeftcl 11618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	5, 8, 12	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	11, 13	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15		recn 7907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9	eftlcvg 11650	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
17	15, 16	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	1, 3, 4, 14, 17	isumrecl 11392	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 4050  dom cdm 4611  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   + caddc 7777   / cdiv 8589  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  seqcseq 10401  ↑cexp 10475  !cfa 10659   ⇝ cli 11241  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  eftlub  11653