ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeftlcl GIF version

Theorem reeftlcl 11711
Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
reeftlcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem reeftlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 nn0z 9287 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 277 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2188 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5 simpll 527 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 8000 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 eluznn0 9613 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87adantll 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftvalcn 11679 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
116, 8, 10syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 reeftcl 11677 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
135, 8, 12syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
1411, 13eqeltrd 2264 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
15 recn 7958 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
169eftlcvg 11709 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1715, 16sylan 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
181, 3, 4, 14, 17isumrecl 11451 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  cmpt 4076  dom cdm 4638  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  cr 7824   + caddc 7828   / cdiv 8643  0cn0 9190  cz 9267  cuz 9542  seqcseq 10459  cexp 10533  !cfa 10719  cli 11300  Σcsu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  eftlub  11712
  Copyright terms: Public domain W3C validator