Theorem resqrtcl 10516

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 10513	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴))
2		simp1l 968	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		sqrtrval 10487	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
5		simp3r 973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (𝑦↑2) = 𝐴)
6		simp3l 972	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
7		simp2 945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		rersqreu 10515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥))
9	8	3ad2ant1 965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥))
10		oveq1 5673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
11	10	eqeq1d 2097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
12		breq2 3855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
13	11, 12	anbi12d 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
14	13	riota2 5644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦) ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝑦))
15	7, 9, 14	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦) ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝑦))
16	5, 6, 15	mpbi2and 890	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝑦)
17	4, 16	eqtrd 2121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = 𝑦)
18	17, 7	eqeltrd 2165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	rexlimdv3a 2492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ))
20	1, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361  ∃!wreu 2362   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  ℩crio 5621  (class class class)co 5666  ℝcr 7403  0cc0 7404   ≤ cle 7577  2c2 8527  ↑cexp 10008  √csqrt 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-rsqrt 10485

This theorem is referenced by:  rersqrtthlem  10517  remsqsqrt  10519  sqrtgt0  10521  sqrtmul  10522  sqrtle  10523  sqrtlt  10524  sqrt11ap  10525  sqrt11  10526  rpsqrtcl  10528  sqrtdiv  10529  sqrtsq2  10530  abscl  10538  amgm2  10605  sqrtcli  10607  resqrtcld  10650