Theorem rexuz3 10918

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
2	1	rgen 2517	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍
3		fveq2 5480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
4		rexuz3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eqtr4di 2215	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
6	5	raleqdv 2665	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍))
7	6	rspcev 2825	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
8	2, 7	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
9	8	biantrurd 303	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)))
10	4	uztrn2 9474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11	10	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → 𝑘 ∈ 𝑍))
12	11	ancrd 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
13	12	ralimdva 2531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
14		eluzelz 9466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14, 4	eleq2s 2259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
16	13, 15	jctild 314	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))))
17	16	imp 123	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
18		uzid 9471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
19		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	19	ralimi 2527	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
21		eleq1 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
22	21	rspcva 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
23	18, 20, 22	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
24		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝜑)
25	24	ralimi 2527	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
26	25	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
27	23, 26	jca 304	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
28	17, 27	impbii 125	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
29	28	rexbii2 2475	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))
30		rexanuz 10916	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
31	29, 30	bitr2i 184	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
32	9, 31	bitr2di 196	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443  ‘cfv 5182  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458

This theorem is referenced by:  rexanuz2  10919  cau4  11044  clim2  11210  lmbr2  12755  lmff  12790