ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexuz3 GIF version

Theorem rexuz3 11012
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuz3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
21rgen 2540 . . . 4 𝑘𝑍 𝑘𝑍
3 fveq2 5527 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
4 rexuz3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eqtr4di 2238 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
65raleqdv 2689 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍))
76rspcev 2853 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
82, 7mpan2 425 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
98biantrurd 305 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)))
104uztrn2 9558 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1110a1d 22 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑘𝑍))
1211ancrd 326 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑 → (𝑘𝑍𝜑)))
1312ralimdva 2554 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
14 eluzelz 9550 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1514, 4eleq2s 2282 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
1613, 15jctild 316 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))))
1716imp 124 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
18 uzid 9555 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
19 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝑘𝑍)
2019ralimi 2550 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
21 eleq1 2250 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2221rspcva 2851 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍) → 𝑗𝑍)
2318, 20, 22syl2an 289 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → 𝑗𝑍)
24 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝜑)
2524ralimi 2550 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2625adantl 277 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2723, 26jca 306 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
2817, 27impbii 126 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
2928rexbii2 2498 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))
30 rexanuz 11010 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
3129, 30bitr2i 185 . 2 ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
329, 31bitr2di 197 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465  wrex 2466  cfv 5228  cz 9266  cuz 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542
This theorem is referenced by:  rexanuz2  11013  cau4  11138  clim2  11304  lmbr2  13985  lmff  14020
  Copyright terms: Public domain W3C validator