ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexuz3 GIF version

Theorem rexuz3 10647
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuz3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
21rgen 2457 . . . 4 𝑘𝑍 𝑘𝑍
3 fveq2 5373 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
4 rexuz3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eqr 2163 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
65raleqdv 2604 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍))
76rspcev 2758 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
82, 7mpan2 419 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
98biantrurd 301 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)))
104uztrn2 9238 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1110a1d 22 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑘𝑍))
1211ancrd 322 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑 → (𝑘𝑍𝜑)))
1312ralimdva 2471 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
14 eluzelz 9230 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1514, 4eleq2s 2207 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
1613, 15jctild 312 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))))
1716imp 123 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
18 uzid 9235 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
19 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝑘𝑍)
2019ralimi 2467 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
21 eleq1 2175 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2221rspcva 2756 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍) → 𝑗𝑍)
2318, 20, 22syl2an 285 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → 𝑗𝑍)
24 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝜑)
2524ralimi 2467 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2625adantl 273 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2723, 26jca 302 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
2817, 27impbii 125 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
2928rexbii2 2418 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))
30 rexanuz 10645 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
3129, 30bitr2i 184 . 2 ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
329, 31syl6rbb 196 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wrex 2389  cfv 5079  cz 8951  cuz 9221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222
This theorem is referenced by:  rexanuz2  10648  cau4  10773  clim2  10937  lmbr2  12218  lmff  12253
  Copyright terms: Public domain W3C validator