ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexuz3 GIF version

Theorem rexuz3 10998
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuz3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
21rgen 2530 . . . 4 𝑘𝑍 𝑘𝑍
3 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
4 rexuz3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eqtr4di 2228 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
65raleqdv 2678 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍))
76rspcev 2841 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
82, 7mpan2 425 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
98biantrurd 305 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)))
104uztrn2 9544 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1110a1d 22 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑘𝑍))
1211ancrd 326 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑 → (𝑘𝑍𝜑)))
1312ralimdva 2544 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
14 eluzelz 9536 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1514, 4eleq2s 2272 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
1613, 15jctild 316 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))))
1716imp 124 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
18 uzid 9541 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
19 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝑘𝑍)
2019ralimi 2540 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
21 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2221rspcva 2839 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍) → 𝑗𝑍)
2318, 20, 22syl2an 289 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → 𝑗𝑍)
24 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝜑)
2524ralimi 2540 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2625adantl 277 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2723, 26jca 306 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
2817, 27impbii 126 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
2928rexbii2 2488 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))
30 rexanuz 10996 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
3129, 30bitr2i 185 . 2 ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
329, 31bitr2di 197 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cfv 5216  cz 9252  cuz 9527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528
This theorem is referenced by:  rexanuz2  10999  cau4  11124  clim2  11290  lmbr2  13684  lmff  13719
  Copyright terms: Public domain W3C validator